Номер 10.6, страница 269 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.6, страница 269.

Условие.

10.6 a) $\sqrt[4]{x^2 - 5} = \sqrt[4]{5x + 9}$;

в) $\sqrt{3x^2 - 13} = \sqrt{5x - 1}$;

б) $\sqrt[4]{2x^2 - 1} = \sqrt[4]{3x - 2}$;

г) $\sqrt{4x^2 - 11} = \sqrt{13x + 31}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt[4]{x^2 - 5} = \sqrt[4]{5x + 9}$

Уравнение с корнями четной степени равносильно системе, в которой подкоренные выражения приравниваются, и одно из них (любое) должно быть неотрицательным.

$\begin{cases} x^2 - 5 = 5x + 9 \\ 5x + 9 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение:

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2$; $x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

Теперь выполним проверку корней, подставив их в неравенство $5x + 9 \ge 0$.

При $x_1 = -2$: $5(-2) + 9 = -10 + 9 = -1$. Так как $-1 < 0$, этот корень является посторонним.

При $x_2 = 7$: $5(7) + 9 = 35 + 9 = 44$. Так как $44 \ge 0$, этот корень является решением.

Ответ: 7.

б) $\sqrt[4]{2x^2 - 1} = \sqrt[4]{3x - 2}$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x^2 - 1 = 3x - 2 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим уравнение $2x^2 - 1 = 3x - 2$:

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Проверим корни по условию $3x - 2 \ge 0$.

При $x_1 = \frac{1}{2}$: $3(\frac{1}{2}) - 2 = 1.5 - 2 = -0.5$. Так как $-0.5 < 0$, корень является посторонним.

При $x_2 = 1$: $3(1) - 2 = 1$. Так как $1 \ge 0$, корень является решением.

Ответ: 1.

в) $\sqrt{3x^2 - 13} = \sqrt{5x - 1}$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3x^2 - 13 = 5x - 1 \\ 5x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим уравнение $3x^2 - 13 = 5x - 1$:

$3x^2 - 5x - 12 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$; $x_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

Проверим корни по условию $5x - 1 \ge 0$.

При $x_1 = -\frac{4}{3}$: $5(-\frac{4}{3}) - 1 = -\frac{20}{3} - 1 = -\frac{23}{3}$. Так как $-\frac{23}{3} < 0$, корень является посторонним.

При $x_2 = 3$: $5(3) - 1 = 14$. Так как $14 \ge 0$, корень является решением.

Ответ: 3.

г) $\sqrt{4x^2 - 11} = \sqrt{13x + 31}$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x^2 - 11 = 13x + 31 \\ 13x + 31 \ge 0 \end{cases}$

Решим уравнение $4x^2 - 11 = 13x + 31$:

$4x^2 - 13x - 42 = 0$

Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-42) = 169 + 672 = 841 = 29^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{13 - 29}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$; $x_2 = \frac{13 + 29}{2 \cdot 4} = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$.

Проверим корни по условию $13x + 31 \ge 0$.

При $x_1 = -2$: $13(-2) + 31 = -26 + 31 = 5$. Так как $5 \ge 0$, корень является решением.

При $x_2 = \frac{21}{4}$: $13(\frac{21}{4}) + 31 = \frac{273}{4} + \frac{124}{4} = \frac{397}{4}$. Так как $\frac{397}{4} \ge 0$, корень также является решением.

Ответ: -2; $\frac{21}{4}$.