Номер 10.4, страница 269 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.4, страница 269.

Условие.

10.4* Докажите утверждение о возведении уравнения в чётную степень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Утверждение о возведении уравнения в чётную степень

При возведении обеих частей уравнения $f(x) = g(x)$ в одну и ту же чётную натуральную степень $2k$ (где $k \in \mathbb{N}$) получается уравнение-следствие $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$. Это означает, что множество корней исходного уравнения является подмножеством множества корней полученного уравнения, но в общем случае преобразование не является равносильным и может привести к появлению посторонних корней.

Более точно, множество корней уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ является объединением множеств корней двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

Доказательство

Пусть дано исходное уравнение:

$f(x) = g(x) \quad (1)$

Возведём обе его части в чётную степень $2k$, где $k$ — натуральное число:

$(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k} \quad (2)$

1. Докажем, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Пусть $x_0$ — произвольный корень уравнения (1). Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение (1) получается верное числовое равенство: $f(x_0) = g(x_0)$.

Если мы возведем обе части этого верного числового равенства в степень $2k$, мы снова получим верное числовое равенство: $(f(x_0))^{2k} = (g(x_0))^{2k}$.

Это по определению означает, что $x_0$ является корнем уравнения (2). Поскольку $x_0$ — произвольный корень уравнения (1), то все корни исходного уравнения являются корнями уравнения-следствия. Это доказывает, что при возведении в чётную степень не происходит потери корней.

2. Проанализируем множество всех корней уравнения (2).

Преобразуем уравнение (2), перенеся все члены в левую часть:

$(f(x))^{2k} - (g(x))^{2k} = 0$

Заметим, что для любых действительных чисел $A$ и $B$ и натурального $k$, равенство $A^{2k} = B^{2k}$ равносильно равенству $|A| = |B|$. Следовательно, уравнение (2) равносильно уравнению:

$|f(x)| = |g(x)|$

По определению модуля, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\left[\begin{aligned}f(x) = g(x) \\f(x) = -g(x)\end{aligned}\right.$

Таким образом, множество корней уравнения (2) состоит из всех корней исходного уравнения $f(x) = g(x)$ и всех корней уравнения $f(x) = -g(x)$. Корни второго уравнения, которые не являются корнями первого, и есть посторонние корни, которые могут появиться в результате возведения в чётную степень.

Например, рассмотрим уравнение $x = 3$. Его единственный корень $x=3$. Возведем обе части в квадрат: $x^2 = 3^2$, или $x^2 = 9$. Это уравнение имеет два корня: $x=3$ и $x=-3$. Корень $x=-3$ является посторонним, он появился как корень уравнения $x = -3$.

Преобразование будет равносильным (не приводящим к появлению посторонних корней) в том и только в том случае, когда множества решений уравнений $f(x)=g(x)$ и $f(x)=-g(x)$ совпадают, или когда второе уравнение не имеет решений. Это гарантируется, если на области определения исходного уравнения обе его части, $f(x)$ и $g(x)$, имеют одинаковый знак (или обе равны нулю), то есть выполняется условие $f(x) \cdot g(x) \ge 0$.

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что при возведении обеих частей уравнения $f(x)=g(x)$ в чётную степень $2k$ ($k \in \mathbb{N}$) получается уравнение-следствие $(f(x))^{2k}=(g(x))^{2k}$. Множество корней полученного уравнения является объединением множеств корней уравнений $f(x)=g(x)$ и $f(x)=-g(x)$, из-за чего могут появиться посторонние корни, являющиеся решениями уравнения $f(x)=-g(x)$.