Номер 10.7, страница 269 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.7, страница 269.

Условие.

10.7 a) $\sqrt{x+1} = x-2;$

В) $\sqrt{x+3} = x+2;$

б) $\sqrt{x-1} = x-4;$

Г) $\sqrt{x} = x-1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{x+1} = x-2$

Для решения иррационального уравнения найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \geq 0$, откуда $x \geq -1$.
2. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом: $x-2 \geq 0$, откуда $x \geq 2$.
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \geq 2$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x+1})^2 = (x-2)^2$
$x+1 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - 4x - x + 4 - 1 = 0$
$x^2 - 5x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \geq 2$).
Для $x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$: зная, что $3 < \sqrt{13} < 4$, получаем $x_1 \approx \frac{5 - 3.6}{2} = 0.7$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \geq 2$, следовательно, является посторонним.
Для $x_2 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$: $x_2 \approx \frac{5 + 3.6}{2} = 4.3$. Этот корень удовлетворяет условию $x \geq 2$.

Ответ: $x = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

б) $\sqrt{x-1} = x-4$

Определим ОДЗ:
1. $x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$
2. $x-4 \geq 0 \implies x \geq 4$
Итоговая ОДЗ: $x \geq 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (x-4)^2$
$x-1 = x^2 - 8x + 16$
$x^2 - 9x + 17 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 81 - 68 = 13$
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{13}}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 4$).
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{9 - 3.6}{2} = 2.7$. Корень не удовлетворяет условию $x \geq 4$, является посторонним.
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{9 + 3.6}{2} = 6.3$. Корень удовлетворяет условию $x \geq 4$.

Ответ: $x = \frac{9 + \sqrt{13}}{2}$

в) $\sqrt{x+3} = x+2$

Определим ОДЗ:
1. $x+3 \geq 0 \implies x \geq -3$
2. $x+2 \geq 0 \implies x \geq -2$
Итоговая ОДЗ: $x \geq -2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+3})^2 = (x+2)^2$
$x+3 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq -2$).
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3 - 2.24}{2} = -2.62$. Корень не удовлетворяет условию $x \geq -2$, является посторонним.
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3 + 2.24}{2} = -0.38$. Корень удовлетворяет условию $x \geq -2$.

Ответ: $x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$

г) $\sqrt{x} = x-1$

Определим ОДЗ:
1. $x \geq 0$
2. $x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$
Итоговая ОДЗ: $x \geq 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (x-1)^2$
$x = x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 3x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 1$).
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 - 2.24}{2} = 0.38$. Корень не удовлетворяет условию $x \geq 1$, является посторонним.
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 + 2.24}{2} = 2.62$. Корень удовлетворяет условию $x \geq 1$.

Ответ: $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$