Номер 10.30, страница 277 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.30, страница 277.

Условие.

10.30* a) $\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \sin x;$

б) $\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \cos x - 1;$

В) $\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = \cos x;$

г) $\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Исходное уравнение: $ \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = \sin x $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла через тангенс: $ \cos(2x) = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} $.

Тогда уравнение принимает вид: $ \cos(2x) = \sin x $.

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $:

$ 1 - 2\sin^2 x = \sin x $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \sin x $:

$ 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 $

Сделаем замену $ t = \sin x $, где $ |t| \le 1 $:

$ 2t^2 + t - 1 = 0 $

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $.

Корни: $ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $ и $ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \sin x = \frac{1}{2} $. Решения: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как $ \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0 $.

2. $ \sin x = -1 $. Решения: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $. Для этих значений $ \cos x = 0 $, что не входит в ОДЗ. Следовательно, это посторонние корни.

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = \cos x - 1 $.

ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Используем формулу $ \cos(2x) = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} $:

$ \cos(2x) = \cos x - 1 $

Применим формулу $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $:

$ 2\cos^2 x - 1 = \cos x - 1 $

$ 2\cos^2 x - \cos x = 0 $

$ \cos x (2\cos x - 1) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos x = 0 $. Решения $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения не входят в ОДЗ, так как тангенс для них не определен. Это посторонние корни.

2. $ 2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} $. Решения: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

в)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} = \cos x $.

ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс: $ \sin(2x) = \frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} $.

Уравнение принимает вид: $ \sin(2x) = \cos x $.

Применим формулу $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x = \cos x $

$ 2\sin x \cos x - \cos x = 0 $

$ \cos x (2\sin x - 1) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos x = 0 $. Решения $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения не входят в ОДЗ. Это посторонние корни.

2. $ 2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} $. Решения: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

г)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} = \sin x $.

ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Используем формулу $ \sin(2x) = \frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} $:

$ \sin(2x) = \sin x $

Применим формулу $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x = \sin x $

$ 2\sin x \cos x - \sin x = 0 $

$ \sin x (2\cos x - 1) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \sin x = 0 $. Решения: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Для этих значений $ \cos x = \cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0 $. Решения удовлетворяют ОДЗ.

2. $ 2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} $. Решения: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $