Номер 10.35, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.35, страница 280.

Условие.

10.35 a) $\log_5 (x - 5)^2 = 2 \log_5 \sqrt{x}$;

б) $\log_3 (x - 3)^2 = 2 \log_3 \sqrt{x}$;

в) $\lg (x - 2)^2 = 2 \lg \sqrt{3 - x}$;

г) $\lg (x - 1)^2 = 2 \lg \sqrt{2 - x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\log_{5}(x - 5)^2 = 2\log_{5}\sqrt{x}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} (x - 5)^2 > 0 \\ \sqrt{x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 5 \\ x > 0 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (0, 5) \cup (5, +\infty)$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $\log_{a}(b^k) = k\log_{a}|b|$ для четного $k$, и $k\log_a b = \log_a (b^k)$:
$2\log_{5}|x - 5| = 2\log_{5}(x^{1/2})$
$2\log_{5}|x - 5| = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{5}x$
$2\log_{5}|x - 5| = \log_{5}x$
$\log_{5}(|x - 5|^2) = \log_{5}x$
Так как $|a|^2 = a^2$, то $|x - 5|^2 = (x - 5)^2$:
$\log_{5}((x - 5)^2) = \log_{5}x$

3. Приравняем аргументы логарифмов:
$(x - 5)^2 = x$
$x^2 - 10x + 25 = x$
$x^2 - 11x + 25 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 121 - 100 = 21$
$x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{21}}{2}$

5. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ.
$x_1 = \frac{11 + \sqrt{21}}{2}$. Так как $4 < \sqrt{21} < 5$, то $x_1 \approx \frac{11 + 4.58}{2} \approx 7.79$. Этот корень принадлежит интервалу $(5, +\infty)$, значит, удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \frac{11 - \sqrt{21}}{2}$. $x_2 \approx \frac{11 - 4.58}{2} \approx 3.21$. Этот корень принадлежит интервалу $(0, 5)$, значит, удовлетворяет ОДЗ.
Оба корня подходят.

Ответ: $x_1 = \frac{11 - \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{11 + \sqrt{21}}{2}$.

б) $\log_{3}(x - 3)^2 = 2\log_{3}\sqrt{x}$

1. ОДЗ:
$\begin{cases} (x - 3)^2 > 0 \\ \sqrt{x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 3 \\ x > 0 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (0, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Преобразуем уравнение:
$2\log_{3}|x - 3| = 2\log_{3}(x^{1/2})$
$2\log_{3}|x - 3| = \log_{3}x$
$\log_{3}(|x - 3|^2) = \log_{3}x$
$\log_{3}((x - 3)^2) = \log_{3}x$

3. Приравняем аргументы:
$(x - 3)^2 = x$
$x^2 - 6x + 9 = x$
$x^2 - 7x + 9 = 0$

4. Решим квадратное уравнение:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13$
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$

5. Проверим корни по ОДЗ.
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$. Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $x_1 \approx \frac{7 + 3.6}{2} = 5.3$. $5.3 > 3$, корень подходит.
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$. $x_2 \approx \frac{7 - 3.6}{2} = 1.7$. $0 < 1.7 < 3$, корень подходит.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}, x_2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$.

в) $\lg(x - 2)^2 = 2\lg\sqrt{3 - x}$

1. ОДЗ ($lg$ - это $log_{10}$):
$\begin{cases} (x - 2)^2 > 0 \\ \sqrt{3 - x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 2 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 2 \\ x < 3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.

2. Преобразуем уравнение:
$2\lg|x - 2| = 2\lg((3-x)^{1/2})$
$2\lg|x - 2| = \lg(3-x)$
$\lg(|x - 2|^2) = \lg(3-x)$
$\lg((x - 2)^2) = \lg(3-x)$

3. Приравняем аргументы:
$(x - 2)^2 = 3 - x$
$x^2 - 4x + 4 = 3 - x$
$x^2 - 3x + 1 = 0$

4. Решим квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$
$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

5. Проверим корни по ОДЗ.
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $x_1 \approx \frac{3 + 2.24}{2} \approx 2.62$. $2 < 2.62 < 3$, корень подходит.
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$. $x_2 \approx \frac{3 - 2.24}{2} \approx 0.38$. $0.38 < 2$, корень подходит.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

г) $\lg(x - 1)^2 = 2\lg\sqrt{2 - x}$

1. ОДЗ:
$\begin{cases} (x - 1)^2 > 0 \\ \sqrt{2 - x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 1 \\ 2 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 1 \\ x < 2 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, 2)$.

2. Преобразуем уравнение:
$2\lg|x - 1| = \lg(2-x)$
$\lg((x - 1)^2) = \lg(2-x)$

3. Приравняем аргументы:
$(x - 1)^2 = 2 - x$
$x^2 - 2x + 1 = 2 - x$
$x^2 - x - 1 = 0$

4. Решим квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

5. Проверим корни по ОДЗ.
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.24}{2} \approx 1.62$. $1 < 1.62 < 2$, корень подходит.
$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 - 2.24}{2} \approx -0.62$. $-0.62 < 1$, корень подходит.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.