Номер 10.42, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.42, страница 281.

Условие.

10.42 a) $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = 4$;

б) $x^2 - \lg^2 x - \lg x^2 - \frac{1}{x} = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = 4$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание степени $x$ и аргумент логарифма $2x$ должны быть положительны, а основание логарифма $\sqrt{x}$ должно быть положительно и не равно 1.

1. $x > 0$

2. $2x > 0 \implies x > 0$

3. $\sqrt{x} > 0 \implies x > 0$

4. $\sqrt{x} \neq 1 \implies x \neq 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя основное логарифмическое тождество в сочетании со свойствами логарифмов. Сначала упростим показатель степени:

$\log_{\sqrt{x}} 2x = \log_{x^{1/2}} 2x = \frac{1}{1/2}\log_x (2x) = 2\log_x(2x)$

Подставим это в исходное уравнение:

$x^{2\log_x(2x)} = 4$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$(x^{\log_x(2x)})^2 = 4$

$(2x)^2 = 4$

$4x^2 = 4$

$x^2 = 1$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).

Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как основание логарифма $\sqrt{x}$ не может быть равно 1.

Корень $x_2 = -1$ не входит в ОДЗ, так как основание степени $x$ должно быть положительным.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) $x^{2 - \lg^2 x - \lg x^2} - \frac{1}{x} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). В уравнении присутствуют десятичные логарифмы $\lg x$ и $\lg x^2$.

1. Аргумент логарифма $\lg x$ должен быть положителен: $x > 0$.

2. Аргумент логарифма $\lg x^2$ должен быть положителен: $x^2 > 0$, что означает $x \neq 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Перепишем исходное уравнение:

$x^{2 - \lg^2 x - \lg x^2} = \frac{1}{x}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $x$:

$x^{2 - \lg^2 x - \lg x^2} = x^{-1}$

Так как основания степеней равны и $x>0$, мы можем приравнять показатели степеней. Случай $x=1$ можно проверить отдельно: $1 = 1$. Подставим $x=1$ в равенство показателей: $2 - (\lg 1)^2 - \lg(1^2) = -1 \implies 2 - 0 - 0 = -1 \implies 2 = -1$, что неверно. Значит, $x \neq 1$, и мы можем приравнивать показатели.

$2 - \lg^2 x - \lg x^2 = -1$

Используем свойство логарифма $\lg x^2 = 2\lg x$ (это преобразование корректно, так как по ОДЗ $x>0$):

$2 - (\lg x)^2 - 2\lg x = -1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$2 - t^2 - 2t = -1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = -2$, а произведение $t_1 t_2 = -3$. Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $t = 1$, то $\lg x = 1$. Отсюда $x = 10^1 = 10$.

2. Если $t = -3$, то $\lg x = -3$. Отсюда $x = 10^{-3} = 0.001$.

Оба полученных корня ($x=10$ и $x=0.001$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $10; 0.001$.