Номер 10.42, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.42, страница 281.
№10.42 (с. 281)
Условие. №10.42 (с. 281)
скриншот условия

10.42 a) $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = 4$;
б) $x^2 - \lg^2 x - \lg x^2 - \frac{1}{x} = 0$.
Решение 1. №10.42 (с. 281)


Решение 2. №10.42 (с. 281)

Решение 4. №10.42 (с. 281)
а) $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = 4$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание степени $x$ и аргумент логарифма $2x$ должны быть положительны, а основание логарифма $\sqrt{x}$ должно быть положительно и не равно 1.
1. $x > 0$
2. $2x > 0 \implies x > 0$
3. $\sqrt{x} > 0 \implies x > 0$
4. $\sqrt{x} \neq 1 \implies x \neq 1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя основное логарифмическое тождество в сочетании со свойствами логарифмов. Сначала упростим показатель степени:
$\log_{\sqrt{x}} 2x = \log_{x^{1/2}} 2x = \frac{1}{1/2}\log_x (2x) = 2\log_x(2x)$
Подставим это в исходное уравнение:
$x^{2\log_x(2x)} = 4$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$(x^{\log_x(2x)})^2 = 4$
$(2x)^2 = 4$
$4x^2 = 4$
$x^2 = 1$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).
Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как основание логарифма $\sqrt{x}$ не может быть равно 1.
Корень $x_2 = -1$ не входит в ОДЗ, так как основание степени $x$ должно быть положительным.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
б) $x^{2 - \lg^2 x - \lg x^2} - \frac{1}{x} = 0$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). В уравнении присутствуют десятичные логарифмы $\lg x$ и $\lg x^2$.
1. Аргумент логарифма $\lg x$ должен быть положителен: $x > 0$.
2. Аргумент логарифма $\lg x^2$ должен быть положителен: $x^2 > 0$, что означает $x \neq 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.
Перепишем исходное уравнение:
$x^{2 - \lg^2 x - \lg x^2} = \frac{1}{x}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $x$:
$x^{2 - \lg^2 x - \lg x^2} = x^{-1}$
Так как основания степеней равны и $x>0$, мы можем приравнять показатели степеней. Случай $x=1$ можно проверить отдельно: $1 = 1$. Подставим $x=1$ в равенство показателей: $2 - (\lg 1)^2 - \lg(1^2) = -1 \implies 2 - 0 - 0 = -1 \implies 2 = -1$, что неверно. Значит, $x \neq 1$, и мы можем приравнивать показатели.
$2 - \lg^2 x - \lg x^2 = -1$
Используем свойство логарифма $\lg x^2 = 2\lg x$ (это преобразование корректно, так как по ОДЗ $x>0$):
$2 - (\lg x)^2 - 2\lg x = -1$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:
$2 - t^2 - 2t = -1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = -2$, а произведение $t_1 t_2 = -3$. Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену.
1. Если $t = 1$, то $\lg x = 1$. Отсюда $x = 10^1 = 10$.
2. Если $t = -3$, то $\lg x = -3$. Отсюда $x = 10^{-3} = 0.001$.
Оба полученных корня ($x=10$ и $x=0.001$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $10; 0.001$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.42 расположенного на странице 281 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.42 (с. 281), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.