Номер 10.45, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.45, страница 281.

Условие.

10.45* а) $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}};$

б) $\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} = (4 - x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}},$

в) $\frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} = (2 - x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}};$

г) $\frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} = (2 - x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим уравнение $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $1-x^2 > 0$, что дает $x^2 < 1$, или $-1 < x < 1$.
Знаменатель показателя степени не должен быть равен нулю: $\sin x + 1 \neq 0$, то есть $\sin x \neq -1$. Это соответствует $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, это значение не входит в интервал $(-1, 1)$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1, 1)$.

2. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степени: $\frac{1}{\sqrt{a}} = a^{-1/2}$.
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-1/2}$.

3. Уравнение принимает вид:
$(1-x^2)^{-1/2} = (1-x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}}$.

4. Это показательное уравнение. Решения могут быть в двух случаях:
Случай 1: Основание степени равно 1.
$1-x^2 = 1 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$.
Проверим, входит ли корень в ОДЗ: $0 \in (-1, 1)$. Да, входит. Следовательно, $x=0$ является решением.

Случай 2: Основание степени не равно 1.
В этом случае равенство возможно, только если равны показатели степеней.
$-\frac{1}{2} = -\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}$
$\frac{1}{2} = \frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}$
$\sin x + 1 = 2\sin^2 x$
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.
Сделаем замену $y = \sin x$.
$2y^2 - y - 1 = 0$.
Решаем квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9$.
$y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.
$y_1 = 1$, $y_2 = -\frac{1}{2}$.

5. Возвращаемся к переменной $x$.
а) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, это значение и все остальные корни этой серии не принадлежат ОДЗ $(-1, 1)$.
б) $\sin x = -\frac{1}{2} \implies x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни, принадлежащие ОДЗ $(-1, 1)$.
При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{6}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx -0.52$, что принадлежит интервалу $(-1, 1)$.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} > 1$.
При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6} < -1$.
Единственный корень из этой серии, удовлетворяющий ОДЗ, это $x = -\frac{\pi}{6}$.

6. Объединяя решения из обоих случаев, получаем корни уравнения: $x=0$ и $x=-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $0; -\frac{\pi}{6}$.

б)

Решим уравнение $\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} = (4-x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}}$.

1. Найдем ОДЗ: $4-x^2 > 0 \implies x^2 < 4 \implies -2 < x < 2$.
Также $\cos x + 1 \neq 0 \implies \cos x \neq -1$. Это соответствует $x \neq \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\pi \approx 3.14 > 2$, эти точки не входят в интервал $(-2, 2)$. ОДЗ: $x \in (-2, 2)$.

2. Преобразуем уравнение:
$(4-x^2)^{-1/2} = (4-x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}}$.

3. Рассмотрим два случая:
Случай 1: Основание степени равно 1.
$4-x^2 = 1 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
Проверим ОДЗ: $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому оба корня $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ принадлежат интервалу $(-2, 2)$. Это решения.

Случай 2: Основание степени не равно 1.
Приравниваем показатели степеней:
$-\frac{1}{2} = -\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}$
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.
Замена $z = \cos x$ приводит к квадратному уравнению $2z^2 - z - 1 = 0$, корни которого $z_1=1$ и $z_2 = -1/2$.

4. Возвращаемся к переменной $x$.
а) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
При $k=0$ получаем $x=0$. Этот корень принадлежит ОДЗ $(-2, 2)$.
При других $k$ корни выходят за пределы ОДЗ.
б) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3} \approx 2.09 > 2$, ни один корень из этой серии не попадает в ОДЗ.

5. Объединяем все найденные решения: $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; 0; \sqrt{3}$.

в)

Решим уравнение $\frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = (2-x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}}$.

1. Найдем ОДЗ: $2-x^2 > 0 \implies x^2 < 2 \implies -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.
Также $\sin x + 1 \neq 0 \implies \sin x \neq -1$. Точка $x=-\pi/2 \approx -1.57$ не входит в ОДЗ $(-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \approx (-1.414, 1.414)$. ОДЗ: $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

2. Преобразуем уравнение:
$(2-x^2)^{-1/2} = (2-x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}}$.

3. Рассмотрим два случая:
Случай 1: Основание степени равно 1.
$2-x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Оба корня принадлежат ОДЗ $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Это решения.

Случай 2: Основание степени не равно 1.
Приравниваем показатели: $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.
Как и в пункте а), получаем $\sin x = 1$ или $\sin x = -1/2$.

4. Находим $x$ и проверяем по ОДЗ.
а) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
$\frac{\pi}{2} \approx 1.57 > \sqrt{2} \approx 1.414$. Решений в ОДЗ нет.
б) $\sin x = -1/2 \implies x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$.
При $n=0$ имеем $x = -\frac{\pi}{6}$. Этот корень $-\frac{\pi}{6} \approx -0.52$ принадлежит ОДЗ $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
Другие корни этой серии не входят в ОДЗ.

5. Объединяем решения: $x=1$, $x=-1$, $x=-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-1; -\frac{\pi}{6}; 1$.

г)

Решим уравнение $\frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = (2-x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}}$.

1. Найдем ОДЗ: $2-x^2 > 0 \implies -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.
Также $\cos x \neq -1$. Точка $x=\pi \approx 3.14$ не входит в ОДЗ. ОДЗ: $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

2. Преобразуем уравнение:
$(2-x^2)^{-1/2} = (2-x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}}$.

3. Рассмотрим два случая:
Случай 1: Основание степени равно 1.
$2-x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Оба корня принадлежат ОДЗ $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Это решения.

Случай 2: Основание степени не равно 1.
Приравниваем показатели: $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.
Как и в пункте б), получаем $\cos x = 1$ или $\cos x = -1/2$.

4. Находим $x$ и проверяем по ОДЗ.
а) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k$.
При $k=0$ получаем $x=0$. Этот корень принадлежит ОДЗ.
б) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
$\frac{2\pi}{3} \approx 2.09 > \sqrt{2} \approx 1.414$. Решений в ОДЗ нет.

5. Объединяем все найденные решения: $x=0$, $x=1$, $x=-1$.

Ответ: $-1; 0; 1$.