Номер 10.47, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.47, страница 281.

Условие.

10.47 ИССЛЕДУЕМ. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x^2 - a^2}{x - 4} = 0$ имеет единственный корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} x^2 - a^2 = 0 \\ x - 4 \neq 0 \end{cases} $$

Из второго условия системы находим область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 4$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $x^2 - a^2 = 0$. Используя формулу разности квадратов, разложим его на множители: $(x-a)(x+a)=0$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = a$ и $x_2 = -a$.

Исходное уравнение будет иметь единственный корень в следующих случаях:

1. Корни числителя совпадают.
Это происходит, когда $a = -a$, что равносильно $2a = 0$, и, следовательно, $a = 0$.
При $a = 0$ уравнение числителя принимает вид $x^2 = 0$ и имеет один корень $x = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \neq 4$.
Таким образом, при $a=0$ исходное уравнение имеет единственный корень.

2. Корни числителя различны, но один из них не удовлетворяет ОДЗ.
Корни $a$ и $-a$ различны, если $a \neq 0$. Условие ОДЗ — $x \neq 4$. Это означает, что один из корней ($a$ или $-a$) должен быть равен 4, а другой корень (который и будет решением уравнения) не должен быть равен 4.
Рассмотрим два подслучая:

а) Корень $x_1 = a$ равен 4, то есть $a = 4$.При $a = 4$ корнями числителя являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Корень $x_1=4$ не входит в ОДЗ и исключается. Остается единственный корень $x_2=-4$, который удовлетворяет ОДЗ ($-4 \neq 4$). Следовательно, значение $a = 4$ подходит.

б) Корень $x_2 = -a$ равен 4, то есть $a = -4$.При $a = -4$ корнями числителя являются $x_1 = -4$ и $x_2 = -(-4) = 4$. Корень $x_2=4$ не входит в ОДЗ и исключается. Остается единственный корень $x_1=-4$, который удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, значение $a = -4$ также подходит.

Объединяя все найденные значения параметра, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=0$, $a=4$ и $a=-4$.

Ответ: $a = -4; 0; 4$.