Номер 10.46, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.46, страница 281.

Условие.

10.46* a) $\log_{|x|} (1+x) = \log_{|x|} (x^2 - 5)$;

б) $\log_{|x|} (9+x) = \log_{|x|} (x^2 + 7)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\log_{|x|}(1+x) = \log_{|x|}(x^2-5)$

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Основание логарифма $|x|$ должно быть больше нуля и не равно единице:
   • $|x| > 0 \implies x \neq 0$
   • $|x| \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$
2. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
   • $1+x > 0 \implies x > -1$
   • $x^2-5 > 0 \implies x^2 > 5 \implies x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$

Найдем пересечение всех условий. Условие $x > -1$ и ($x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$) совместно выполняются только при $x > \sqrt{5}$. Этот интервал также удовлетворяет условиям $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (\sqrt{5}, +\infty)$.

Поскольку основания логарифмов в уравнении одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$1+x = x^2-5$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями уравнения являются:

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > \sqrt{5}$):

• Для $x_1 = 3$: так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, этот корень входит в ОДЗ.
• Для $x_2 = -2$: этот корень не входит в ОДЗ, так как $-2 < \sqrt{5}$.

Следовательно, решением является только $x=3$.

Ответ: 3

---

б) $\log_{|x|}(9+x) = \log_{|x|}(x^2+7)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения.

1. Основание логарифма $|x|$:
   • $|x| > 0 \implies x \neq 0$
   • $|x| \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$
2. Аргументы логарифмов:
   • $9+x > 0 \implies x > -9$
   • $x^2+7 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+7 \ge 7 > 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-9, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Потенцируем уравнение, так как основания логарифмов равны, то есть приравниваем их аргументы:

$9+x = x^2+7$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - x - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:

• Для $x_1 = 2$: корень удовлетворяет ОДЗ, так как $2$ входит в интервал $(1, +\infty)$.
• Для $x_2 = -1$: корень не удовлетворяет ОДЗ, так как основание логарифма $|x|$ не может быть равно 1.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 2