Номер 10.46, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.46, страница 281.
№10.46 (с. 281)
Условие. №10.46 (с. 281)
скриншот условия

10.46* a) $\log_{|x|} (1+x) = \log_{|x|} (x^2 - 5)$;
б) $\log_{|x|} (9+x) = \log_{|x|} (x^2 + 7)$.
Решение 1. №10.46 (с. 281)


Решение 2. №10.46 (с. 281)


Решение 3. №10.46 (с. 281)

Решение 4. №10.46 (с. 281)
а) $\log_{|x|}(1+x) = \log_{|x|}(x^2-5)$
Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
- Основание логарифма $|x|$ должно быть больше нуля и не равно единице:
- $|x| > 0 \implies x \neq 0$
- $|x| \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$
- Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
- $1+x > 0 \implies x > -1$
- $x^2-5 > 0 \implies x^2 > 5 \implies x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$
Найдем пересечение всех условий. Условие $x > -1$ и ($x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$) совместно выполняются только при $x > \sqrt{5}$. Этот интервал также удовлетворяет условиям $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (\sqrt{5}, +\infty)$.
Поскольку основания логарифмов в уравнении одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$1+x = x^2-5$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями уравнения являются:
$x_1 = 3$
$x_2 = -2$
Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > \sqrt{5}$):
- Для $x_1 = 3$: так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, этот корень входит в ОДЗ.
- Для $x_2 = -2$: этот корень не входит в ОДЗ, так как $-2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, решением является только $x=3$.
Ответ: 3
б) $\log_{|x|}(9+x) = \log_{|x|}(x^2+7)$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения.
- Основание логарифма $|x|$:
- $|x| > 0 \implies x \neq 0$
- $|x| \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$
- Аргументы логарифмов:
- $9+x > 0 \implies x > -9$
- $x^2+7 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+7 \ge 7 > 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-9, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$.
Потенцируем уравнение, так как основания логарифмов равны, то есть приравниваем их аргументы:
$9+x = x^2+7$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 - x - 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Корни:
$x_1 = 2$
$x_2 = -1$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:
- Для $x_1 = 2$: корень удовлетворяет ОДЗ, так как $2$ входит в интервал $(1, +\infty)$.
- Для $x_2 = -1$: корень не удовлетворяет ОДЗ, так как основание логарифма $|x|$ не может быть равно 1.
Таким образом, уравнение имеет только один корень.
Ответ: 2
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.46 расположенного на странице 281 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.46 (с. 281), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.