Номер 10.41, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.41, страница 281.

Условие.

10.41 a) $\log_3 (5x^2 - x) \cdot \log_{3x} (5x - 1) = 1;$

б) $\log_4 (20x^2 - x) \cdot \log_{16x} (20x - 1) = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\log_{3}(5x^2 - x) \cdot \log_{3x}(5x - 1) = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными, а основание второго логарифма должно быть положительным и не равным единице.

$\begin{cases} 5x^2 - x > 0 \\ 5x - 1 > 0 \\ 3x > 0 \\ 3x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x(5x - 1) > 0 \\ x > 1/5 \\ x > 0 \\ x \neq 1/3 \end{cases}$

Из второго и третьего неравенств следует, что $x > 1/5$. Это условие также удовлетворяет первому неравенству $x(5x-1)>0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 1/5$ и $x \neq 1/3$, или в виде интервала $x \in (1/5, 1/3) \cup (1/3, +\infty)$.

2. Преобразуем уравнение, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Перейдем к общему основанию 3:

$\log_{3x}(5x - 1) = \frac{\log_3(5x - 1)}{\log_3(3x)}$

Подставим это в исходное уравнение:

$\log_{3}(5x^2 - x) \cdot \frac{\log_3(5x - 1)}{\log_3(3x)} = 1$

Умножим обе части на $\log_3(3x)$ (так как из ОДЗ $x \neq 1/3$, то $\log_3(3x) \neq 0$):

$\log_{3}(5x^2 - x) \cdot \log_3(5x - 1) = \log_3(3x)$

Используем свойства логарифмов $\log(ab) = \log a + \log b$:

$\log_3(x(5x - 1)) \cdot \log_3(5x - 1) = \log_3(3) + \log_3(x)$

$(\log_3 x + \log_3(5x - 1)) \cdot \log_3(5x - 1) = 1 + \log_3 x$

3. Введем замену. Пусть $a = \log_3 x$ и $b = \log_3(5x - 1)$. Уравнение примет вид:

$(a + b) \cdot b = 1 + a$

$ab + b^2 = 1 + a$

$ab + b^2 - a - 1 = 0$

$a(b - 1) + (b^2 - 1) = 0$

$a(b - 1) + (b - 1)(b + 1) = 0$

$(b - 1)(a + b + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

4. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b - 1 = 0 \implies b = 1$.

$\log_3(5x - 1) = 1$

$5x - 1 = 3^1$

$5x = 4 \implies x = 4/5$.

Проверим корень по ОДЗ: $4/5 = 0.8$. Так как $0.8 > 1/5$ и $0.8 \neq 1/3$, корень подходит.

Случай 2: $a + b + 1 = 0$.

$\log_3 x + \log_3(5x - 1) + 1 = 0$

$\log_3(x(5x - 1)) = -1$

$\log_3(5x^2 - x) = -1$

$5x^2 - x = 3^{-1} = 1/3$

$15x^2 - 3x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-1) = 9 + 60 = 69$.

Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{69}}{30}$.

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{69}}{30}$. Так как $8 < \sqrt{69} < 9$, то $x_1 \approx \frac{3 + 8.3}{30} \approx 0.377$. Этот корень больше $1/3 \approx 0.333$ и, следовательно, входит в ОДЗ.

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{69}}{30}$. Так как $\sqrt{69} > 3$, этот корень является отрицательным и не входит в ОДЗ.

Ответ: $x = 4/5$, $x = \frac{3 + \sqrt{69}}{30}$.

---

б) $\log_{4}(20x^2 - x) \cdot \log_{16x}(20x - 1) = 2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 20x^2 - x > 0 \\ 20x - 1 > 0 \\ 16x > 0 \\ 16x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x(20x - 1) > 0 \\ x > 1/20 \\ x > 0 \\ x \neq 1/16 \end{cases}$

Из второго и третьего неравенств следует, что $x > 1/20$. Это условие также удовлетворяет первому неравенству. Таким образом, ОДЗ: $x > 1/20$ и $x \neq 1/16$, или в виде интервала $x \in (1/20, 1/16) \cup (1/16, +\infty)$.

2. Преобразуем уравнение, перейдя к общему основанию 4:

$\log_{16x}(20x - 1) = \frac{\log_4(20x - 1)}{\log_4(16x)}$

Подставим в исходное уравнение:

$\log_{4}(20x^2 - x) \cdot \frac{\log_4(20x - 1)}{\log_4(16x)} = 2$

$\log_{4}(20x^2 - x) \cdot \log_4(20x - 1) = 2 \log_4(16x)$

Используем свойства логарифмов:

$\log_4(x(20x - 1)) \cdot \log_4(20x - 1) = 2(\log_4 16 + \log_4 x)$

$(\log_4 x + \log_4(20x - 1)) \cdot \log_4(20x - 1) = 2(2 + \log_4 x)$

3. Введем замену. Пусть $a = \log_4 x$ и $b = \log_4(20x - 1)$.

$(a + b) \cdot b = 2(2 + a)$

$ab + b^2 = 4 + 2a$

$ab + b^2 - 2a - 4 = 0$

$a(b - 2) + (b^2 - 4) = 0$

$a(b - 2) + (b - 2)(b + 2) = 0$

$(b - 2)(a + b + 2) = 0$

4. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b - 2 = 0 \implies b = 2$.

$\log_4(20x - 1) = 2$

$20x - 1 = 4^2 = 16$

$20x = 17 \implies x = 17/20$.

Проверим корень по ОДЗ: $17/20 = 0.85$. $1/20 = 0.05$, $1/16 = 0.0625$. Корень $0.85$ входит в ОДЗ.

Случай 2: $a + b + 2 = 0$.

$\log_4 x + \log_4(20x - 1) + 2 = 0$

$\log_4(x(20x - 1)) = -2$

$\log_4(20x^2 - x) = -2$

$20x^2 - x = 4^{-2} = 1/16$

$320x^2 - 16x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 320 \cdot (-1) = 256 + 1280 = 1536$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1536} = \sqrt{256 \cdot 6} = 16\sqrt{6}$.

Корни: $x = \frac{16 \pm 16\sqrt{6}}{2 \cdot 320} = \frac{16(1 \pm \sqrt{6})}{640} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{40}$.

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{6}}{40}$. Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, то $x_1 \approx \frac{1 + 2.45}{40} \approx 0.086$. Этот корень больше $1/16 \approx 0.0625$ и, следовательно, входит в ОДЗ.

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{6}}{40}$. Этот корень является отрицательным и не входит в ОДЗ.

Ответ: $x = 17/20$, $x = \frac{1 + \sqrt{6}}{40}$.