Номер 10.36, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.36, страница 280.

Условие.

10.36 a) $ \text{lg} (8x + 11) + \sqrt{x} = \text{lg} (x^2 + 2) + \sqrt{x}; $

б) $ \text{lg} (x + 8) + \sqrt{-x} = \text{lg} (x^2 + 2) + \sqrt{-x}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $lg(8x + 11) + \sqrt{x} = lg(x^2 + 2) + \sqrt{x}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными, а выражение под знаком квадратного корня — неотрицательным.
Получаем систему неравенств:

$ \begin{cases} 8x + 11 > 0 \\ x^2 + 2 > 0 \\ x \ge 0 \end{cases} $

Решим систему:
1) $8x > -11 \implies x > -11/8$
2) $x^2 + 2 > 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 2 \ge 2$.
3) $x \ge 0$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 0$, то есть $x \in [0, +\infty)$.

Теперь решим само уравнение. Заметим, что в обеих частях уравнения присутствует слагаемое $\sqrt{x}$. Вычтем его из обеих частей:

$lg(8x + 11) + \sqrt{x} - \sqrt{x} = lg(x^2 + 2) + \sqrt{x} - \sqrt{x}$
$lg(8x + 11) = lg(x^2 + 2)$

Так как основания логарифмов равны (это десятичный логарифм), мы можем приравнять выражения под знаками логарифмов:

$8x + 11 = x^2 + 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 2 - 11 = 0$
$x^2 - 8x - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$
$\sqrt{D} = 10$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 \ge 0$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 9.

б) $lg(x + 8) + \sqrt{-x} = lg(x^2 + 2) + \sqrt{-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x + 8 > 0 \\ x^2 + 2 > 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} $

Решим систему неравенств:
1) $x + 8 > 0 \implies x > -8$
2) $x^2 + 2 > 0$ истинно для всех действительных $x$.
3) $-x \ge 0 \implies x \le 0$
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $-8 < x \le 0$, то есть $x \in (-8, 0]$.

Упростим исходное уравнение, вычтя из обеих частей $\sqrt{-x}$:

$lg(x + 8) = lg(x^2 + 2)$

Так как логарифмическая функция монотонна, приравниваем аргументы логарифмов:

$x + 8 = x^2 + 2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - x + 2 - 8 = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
По теореме Виета: сумма корней равна $1$, произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
$\sqrt{D} = 5$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($-8 < x \le 0$).
Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $3 > 0$. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -2$ входит в ОДЗ, так как $-8 < -2 \le 0$.

Следовательно, решением уравнения является только $x = -2$.

Ответ: -2.