Номер 10.39, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.39, страница 280.

Условие.

10.39 a) $\log_3 x - \frac{2}{1 + \log_x 27} = \frac{6}{3 + \log_3 x}$

б) $\log_2 x - \frac{8}{2 + \log_2 x} = \frac{4}{1 + \log_x 4}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $log_3 x - \frac{2}{1 + log_x 27} = \frac{6}{3 + log_3 x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма не должно равняться единице: $x > 0$ и $x \neq 1$. Также знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$1 + log_x 27 \neq 0 \Rightarrow log_x 27 \neq -1 \Rightarrow x^{-1} \neq 27 \Rightarrow \frac{1}{x} \neq 27 \Rightarrow x \neq \frac{1}{27}$.

$3 + log_3 x \neq 0 \Rightarrow log_3 x \neq -3 \Rightarrow x \neq 3^{-3} \Rightarrow x \neq \frac{1}{27}$.

Таким образом, ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{27}$.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$:

$log_x 27 = \frac{log_3 27}{log_3 x} = \frac{3}{log_3 x}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$log_3 x - \frac{2}{1 + \frac{3}{log_3 x}} = \frac{6}{3 + log_3 x}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = log_3 x$. Исходя из ОДЗ, $t \neq 0$ (так как $x \neq 1$) и $t \neq -3$ (так как $x \neq \frac{1}{27}$). Уравнение примет вид:

$t - \frac{2}{1 + \frac{3}{t}} = \frac{6}{3 + t}$.

Упростим левую часть:

$t - \frac{2}{\frac{t+3}{t}} = \frac{6}{t+3}$

$t - \frac{2t}{t+3} = \frac{6}{t+3}$.

Умножим обе части уравнения на $(t+3)$, так как мы знаем, что $t+3 \neq 0$:

$t(t+3) - 2t = 6$

$t^2 + 3t - 2t = 6$

$t^2 + t - 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -1$

$t_1 \cdot t_2 = -6$

Отсюда $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Сравним корни с ограничениями для $t$: $t_1 = -3$ является посторонним корнем, так как $t \neq -3$. Корень $t_2 = 2$ удовлетворяет всем условиям.

Выполним обратную замену:

$log_3 x = 2$

$x = 3^2$

$x = 9$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{27}$). Корень $x=9$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $9$.

б) $log_2 x - \frac{8}{2 + log_2 x} = \frac{4}{1 + log_x 4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$. Требования к знаменателям:

$2 + log_2 x \neq 0 \Rightarrow log_2 x \neq -2 \Rightarrow x \neq 2^{-2} \Rightarrow x \neq \frac{1}{4}$.

$1 + log_x 4 \neq 0 \Rightarrow log_x 4 \neq -1 \Rightarrow x^{-1} \neq 4 \Rightarrow \frac{1}{x} \neq 4 \Rightarrow x \neq \frac{1}{4}$.

ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{4}$.

Приведем логарифмы к основанию 2:

$log_x 4 = \frac{log_2 4}{log_2 x} = \frac{2}{log_2 x}$.

Подставим в уравнение:

$log_2 x - \frac{8}{2 + log_2 x} = \frac{4}{1 + \frac{2}{log_2 x}}$.

Сделаем замену. Пусть $y = log_2 x$. Из ОДЗ следует, что $y \neq 0$ (так как $x \neq 1$) и $y \neq -2$ (так как $x \neq \frac{1}{4}$).

$y - \frac{8}{2+y} = \frac{4}{1 + \frac{2}{y}}$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$y - \frac{8}{y+2} = \frac{4}{\frac{y+2}{y}}$

$y - \frac{8}{y+2} = \frac{4y}{y+2}$.

Так как $y+2 \neq 0$, умножим обе части на $(y+2)$:

$y(y+2) - 8 = 4y$

$y^2 + 2y - 8 = 4y$

$y^2 - 2y - 8 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 2$

$y_1 \cdot y_2 = -8$

Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.

Проверим корни с учетом ограничений на $y$: $y_1 = 4$ подходит. $y_2 = -2$ — посторонний корень, так как $y \neq -2$.

Выполним обратную замену для $y=4$:

$log_2 x = 4$

$x = 2^4$

$x = 16$.

Проверим корень по ОДЗ ($x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{4}$). Корень $x=16$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $16$.