Номер 10.39, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.39, страница 280.
№10.39 (с. 280)
Условие. №10.39 (с. 280)
скриншот условия

10.39 a) $\log_3 x - \frac{2}{1 + \log_x 27} = \frac{6}{3 + \log_3 x}$
б) $\log_2 x - \frac{8}{2 + \log_2 x} = \frac{4}{1 + \log_x 4}$
Решение 1. №10.39 (с. 280)


Решение 2. №10.39 (с. 280)



Решение 4. №10.39 (с. 280)
а) $log_3 x - \frac{2}{1 + log_x 27} = \frac{6}{3 + log_3 x}$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма не должно равняться единице: $x > 0$ и $x \neq 1$. Также знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$1 + log_x 27 \neq 0 \Rightarrow log_x 27 \neq -1 \Rightarrow x^{-1} \neq 27 \Rightarrow \frac{1}{x} \neq 27 \Rightarrow x \neq \frac{1}{27}$.
$3 + log_3 x \neq 0 \Rightarrow log_3 x \neq -3 \Rightarrow x \neq 3^{-3} \Rightarrow x \neq \frac{1}{27}$.
Таким образом, ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{27}$.
Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$:
$log_x 27 = \frac{log_3 27}{log_3 x} = \frac{3}{log_3 x}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$log_3 x - \frac{2}{1 + \frac{3}{log_3 x}} = \frac{6}{3 + log_3 x}$.
Введем замену переменной. Пусть $t = log_3 x$. Исходя из ОДЗ, $t \neq 0$ (так как $x \neq 1$) и $t \neq -3$ (так как $x \neq \frac{1}{27}$). Уравнение примет вид:
$t - \frac{2}{1 + \frac{3}{t}} = \frac{6}{3 + t}$.
Упростим левую часть:
$t - \frac{2}{\frac{t+3}{t}} = \frac{6}{t+3}$
$t - \frac{2t}{t+3} = \frac{6}{t+3}$.
Умножим обе части уравнения на $(t+3)$, так как мы знаем, что $t+3 \neq 0$:
$t(t+3) - 2t = 6$
$t^2 + 3t - 2t = 6$
$t^2 + t - 6 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -6$
Отсюда $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.
Сравним корни с ограничениями для $t$: $t_1 = -3$ является посторонним корнем, так как $t \neq -3$. Корень $t_2 = 2$ удовлетворяет всем условиям.
Выполним обратную замену:
$log_3 x = 2$
$x = 3^2$
$x = 9$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{27}$). Корень $x=9$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: $9$.
б) $log_2 x - \frac{8}{2 + log_2 x} = \frac{4}{1 + log_x 4}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$. Требования к знаменателям:
$2 + log_2 x \neq 0 \Rightarrow log_2 x \neq -2 \Rightarrow x \neq 2^{-2} \Rightarrow x \neq \frac{1}{4}$.
$1 + log_x 4 \neq 0 \Rightarrow log_x 4 \neq -1 \Rightarrow x^{-1} \neq 4 \Rightarrow \frac{1}{x} \neq 4 \Rightarrow x \neq \frac{1}{4}$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{4}$.
Приведем логарифмы к основанию 2:
$log_x 4 = \frac{log_2 4}{log_2 x} = \frac{2}{log_2 x}$.
Подставим в уравнение:
$log_2 x - \frac{8}{2 + log_2 x} = \frac{4}{1 + \frac{2}{log_2 x}}$.
Сделаем замену. Пусть $y = log_2 x$. Из ОДЗ следует, что $y \neq 0$ (так как $x \neq 1$) и $y \neq -2$ (так как $x \neq \frac{1}{4}$).
$y - \frac{8}{2+y} = \frac{4}{1 + \frac{2}{y}}$.
Преобразуем правую часть уравнения:
$y - \frac{8}{y+2} = \frac{4}{\frac{y+2}{y}}$
$y - \frac{8}{y+2} = \frac{4y}{y+2}$.
Так как $y+2 \neq 0$, умножим обе части на $(y+2)$:
$y(y+2) - 8 = 4y$
$y^2 + 2y - 8 = 4y$
$y^2 - 2y - 8 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 2$
$y_1 \cdot y_2 = -8$
Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.
Проверим корни с учетом ограничений на $y$: $y_1 = 4$ подходит. $y_2 = -2$ — посторонний корень, так как $y \neq -2$.
Выполним обратную замену для $y=4$:
$log_2 x = 4$
$x = 2^4$
$x = 16$.
Проверим корень по ОДЗ ($x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{4}$). Корень $x=16$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: $16$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.39 расположенного на странице 280 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.39 (с. 280), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.