Страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (10.31–10.46):

10.31 a) $\sqrt[3]{x^2 + x\sqrt{x} + 7x + 27\sqrt{x} + 24} = \sqrt{x} + 3;$

б) $\sqrt[3]{x^2 + x\sqrt{x} + 27\sqrt{x} - 37} = \sqrt{x} - 3.$

а) $\sqrt[3]{x^2 + x\sqrt{x} + 7x + 27\sqrt{x} + 24} = \sqrt{x} + 3$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Наличие выражения $\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$.

2. Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в третью степень.
Левая часть после возведения в куб: $x^2 + x\sqrt{x} + 7x + 27\sqrt{x} + 24$.
Правая часть после возведения в куб: $(\sqrt{x} + 3)^3$.
Раскроем куб суммы по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(\sqrt{x} + 3)^3 = (\sqrt{x})^3 + 3(\sqrt{x})^2 \cdot 3 + 3\sqrt{x} \cdot 3^2 + 3^3 = x\sqrt{x} + 9x + 27\sqrt{x} + 27$.

3. Приравняем полученные выражения:
$x^2 + x\sqrt{x} + 7x + 27\sqrt{x} + 24 = x\sqrt{x} + 9x + 27\sqrt{x} + 27$.

4. Упростим уравнение, сократив одинаковые члены ($x\sqrt{x}$ и $27\sqrt{x}$) в обеих частях:
$x^2 + 7x + 24 = 9x + 27$.

5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 7x - 9x + 24 - 27 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$.

6. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -3$.
Отсюда находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

7. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.
Корень $x = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому является посторонним.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x=3$.

Ответ: 3

б) $\sqrt[3]{x^2 + x\sqrt{x} + 27\sqrt{x} - 37} = \sqrt{x} - 3$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Наличие выражения $\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$.

2. Возведем обе части уравнения в третью степень.
Левая часть после возведения в куб: $x^2 + x\sqrt{x} + 27\sqrt{x} - 37$.
Правая часть после возведения в куб: $(\sqrt{x} - 3)^3$.
Раскроем куб разности по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$(\sqrt{x} - 3)^3 = (\sqrt{x})^3 - 3(\sqrt{x})^2 \cdot 3 + 3\sqrt{x} \cdot 3^2 - 3^3 = x\sqrt{x} - 9x + 27\sqrt{x} - 27$.

3. Приравняем полученные выражения:
$x^2 + x\sqrt{x} + 27\sqrt{x} - 37 = x\sqrt{x} - 9x + 27\sqrt{x} - 27$.

4. Упростим уравнение, сократив одинаковые члены ($x\sqrt{x}$ и $27\sqrt{x}$) в обеих частях:
$x^2 - 37 = -9x - 27$.

5. Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 + 9x - 37 + 27 = 0$
$x^2 + 9x - 10 = 0$.

6. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -9$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -10$.
Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -10$.

7. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$.
Корень $x = -10$ не удовлетворяет условию $-10 \ge 0$, поэтому является посторонним.

8. Выполним проверку для $x=1$, подставив его в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt[3]{1^2 + 1\sqrt{1} + 27\sqrt{1} - 37} = \sqrt[3]{1+1+27-37} = \sqrt[3]{29-37} = \sqrt[3]{-8} = -2$.
Правая часть: $\sqrt{1} - 3 = 1 - 3 = -2$.
Так как левая часть равна правой (-2 = -2), корень $x=1$ является верным.

Ответ: 1

10.32 а) $ \sqrt{2x+1} = 2\sqrt{x-1} + 1; $

б) $ 2\sqrt{3x+7} = 3\sqrt{2x+2} + 2; $

в) $ \sqrt{6x-3} - 2\sqrt{x} = 1; $

г) $ \sqrt{2x-1} - \sqrt{x} = 1. $

а) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x+1} = 2\sqrt{x-1} + 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$2x+1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0.5$
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.
Для $x \ge 1$ обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x+1})^2 = (2\sqrt{x-1} + 1)^2$
$2x+1 = (2\sqrt{x-1})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2$
$2x+1 = 4(x-1) + 4\sqrt{x-1} + 1$
$2x+1 = 4x - 4 + 4\sqrt{x-1} + 1$
$2x+1 = 4x - 3 + 4\sqrt{x-1}$
Уединим оставшийся радикал:
$1 + 3 - 4x + 2x = 4\sqrt{x-1}$
$4 - 2x = 4\sqrt{x-1}$
Разделим обе части на 2:
$2 - x = 2\sqrt{x-1}$
Для того чтобы можно было снова возвести в квадрат, левая часть должна быть неотрицательной, так как правая часть неотрицательна:
$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 1$), получаем ограничение для корней: $1 \le x \le 2$.
Возведем в квадрат уравнение $2 - x = 2\sqrt{x-1}$:
$(2-x)^2 = (2\sqrt{x-1})^2$
$4 - 4x + x^2 = 4(x-1)$
$x^2 - 4x + 4 = 4x - 4$
$x^2 - 8x + 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 - 32 = 32$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$
Получили два корня: $x_1 = 4 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = 4 - 2\sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $1 \le x \le 2$:
$x_1 = 4 + 2\sqrt{2} \approx 4 + 2 \cdot 1.41 = 6.82$. Этот корень не входит в промежуток $[1, 2]$, значит, он посторонний.
$x_2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2 \cdot 1.41 = 1.18$. Этот корень входит в промежуток $[1, 2]$.
Ответ: $4 - 2\sqrt{2}$

б) Дано иррациональное уравнение $2\sqrt{3x+7} = 3\sqrt{2x+2} + 2$.
Найдем ОДЗ:
$3x+7 \ge 0 \implies 3x \ge -7 \implies x \ge -7/3$
$2x+2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -1$.
Для $x \ge -1$ обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$(2\sqrt{3x+7})^2 = (3\sqrt{2x+2} + 2)^2$
$4(3x+7) = 9(2x+2) + 2 \cdot 3\sqrt{2x+2} \cdot 2 + 4$
$12x+28 = 18x+18 + 12\sqrt{2x+2} + 4$
$12x+28 = 18x+22 + 12\sqrt{2x+2}$
Уединим радикал:
$28-22-18x+12x = 12\sqrt{2x+2}$
$6-6x = 12\sqrt{2x+2}$
Разделим обе части на 6:
$1 - x = 2\sqrt{2x+2}$
Потребуем, чтобы левая часть была неотрицательной: $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.
С учетом ОДЗ ($x \ge -1$), получаем ограничение для корней: $-1 \le x \le 1$.
Возведем в квадрат уравнение $1 - x = 2\sqrt{2x+2}$:
$(1-x)^2 = (2\sqrt{2x+2})^2$
$1 - 2x + x^2 = 4(2x+2)$
$x^2 - 2x + 1 = 8x + 8$
$x^2 - 10x - 7 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 100 + 28 = 128$
$x = \frac{10 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{10 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 5 \pm 4\sqrt{2}$
Получили два корня: $x_1 = 5 + 4\sqrt{2}$ и $x_2 = 5 - 4\sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $-1 \le x \le 1$:
$x_1 = 5 + 4\sqrt{2} \approx 5 + 4 \cdot 1.41 = 10.64$. Этот корень не входит в промежуток $[-1, 1]$.
$x_2 = 5 - 4\sqrt{2} \approx 5 - 4 \cdot 1.41 = -0.64$. Этот корень входит в промежуток $[-1, 1]$.
Ответ: $5 - 4\sqrt{2}$

в) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{6x-3} - 2\sqrt{x} = 1$.
Найдем ОДЗ:
$6x-3 \ge 0 \implies 6x \ge 3 \implies x \ge 0.5$
$x \ge 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0.5$.
Перенесем $-2\sqrt{x}$ в правую часть: $\sqrt{6x-3} = 1 + 2\sqrt{x}$.
При $x \ge 0.5$ обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{6x-3})^2 = (1 + 2\sqrt{x})^2$
$6x-3 = 1 + 4\sqrt{x} + 4x$
Уединим радикал:
$6x - 4x - 3 - 1 = 4\sqrt{x}$
$2x - 4 = 4\sqrt{x}$
$x - 2 = 2\sqrt{x}$
Потребуем, чтобы левая часть была неотрицательной: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 0.5$), получаем новое ограничение для корней: $x \ge 2$.
Возведем в квадрат уравнение $x - 2 = 2\sqrt{x}$:
$(x-2)^2 = (2\sqrt{x})^2$
$x^2 - 4x + 4 = 4x$
$x^2 - 8x + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$
Получили два корня: $x_1 = 4 + 2\sqrt{3}$ и $x_2 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x \ge 2$:
$x_1 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 2 \cdot 1.73 = 7.46$. Этот корень больше 2, он подходит.
$x_2 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 2 \cdot 1.73 = 0.54$. Этот корень меньше 2, он не подходит.
Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$

г) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x-1} - \sqrt{x} = 1$.
Найдем ОДЗ:
$2x-1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge 0.5$
$x \ge 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0.5$.
Перенесем $-\sqrt{x}$ в правую часть: $\sqrt{2x-1} = 1 + \sqrt{x}$.
При $x \ge 0.5$ обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{2x-1})^2 = (1 + \sqrt{x})^2$
$2x-1 = 1 + 2\sqrt{x} + x$
Уединим радикал:
$2x - x - 1 - 1 = 2\sqrt{x}$
$x - 2 = 2\sqrt{x}$
Потребуем, чтобы левая часть была неотрицательной: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 0.5$), получаем новое ограничение для корней: $x \ge 2$.
Возведем в квадрат уравнение $x - 2 = 2\sqrt{x}$:
$(x-2)^2 = (2\sqrt{x})^2$
$x^2 - 4x + 4 = 4x$
$x^2 - 8x + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$
Получили два корня: $x_1 = 4 + 2\sqrt{3}$ и $x_2 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x \ge 2$:
$x_1 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 3.46 = 7.46$. Этот корень больше 2, он подходит.
$x_2 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 3.46 = 0.54$. Этот корень меньше 2, он не подходит.
Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$

10.33 a) $\sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}} + \sqrt{\frac{x + 2}{x - 3}} = \frac{7}{\sqrt{(x + 2)(x - 3)}};$

б) $\sqrt{\frac{x - 5}{x + 1}} + \sqrt{\frac{x + 1}{x - 5}} = \frac{10}{\sqrt{(x + 1)(x - 5)}}.$

а) $ \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}} + \sqrt{\frac{x + 2}{x - 3}} = \frac{7}{\sqrt{(x + 2)(x - 3)}} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю.

$\begin{cases} \frac{x-3}{x+2} \ge 0 \\ \frac{x+2}{x-3} \ge 0 \\ (x+2)(x-3) > 0 \end{cases}$

Решением этой системы неравенств является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$. В этих интервалах выражения $x-3$ и $x+2$ имеют одинаковые знаки, поэтому их частное и произведение положительны.

2. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{(x+2)(x-3)}$. Так как в ОДЗ это выражение всегда положительно, это является равносильным преобразованием.

$\sqrt{\frac{x-3}{x+2}} \cdot \sqrt{(x+2)(x-3)} + \sqrt{\frac{x+2}{x-3}} \cdot \sqrt{(x+2)(x-3)} = 7$

$\sqrt{\frac{(x-3)(x+2)(x-3)}{x+2}} + \sqrt{\frac{(x+2)(x+2)(x-3)}{x-3}} = 7$

$\sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(x+2)^2} = 7$

$|x-3| + |x+2| = 7$

3. Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x > 3$.

В этом случае $x-3 > 0$ и $x+2 > 0$. Модули раскрываются со знаком плюс:

$(x-3) + (x+2) = 7$

$2x - 1 = 7$

$2x = 8$

$x = 4$

Корень $x=4$ удовлетворяет условию $x>3$.

Случай 2: $x < -2$.

В этом случае $x-3 < 0$ и $x+2 < 0$. Модули раскрываются со знаком минус:

$-(x-3) - (x+2) = 7$

$-x + 3 - x - 2 = 7$

$-2x + 1 = 7$

$-2x = 6$

$x = -3$

Корень $x=-3$ удовлетворяет условию $x<-2$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 4$.

б) $ \sqrt{\frac{x - 5}{x + 1}} + \sqrt{\frac{x + 1}{x - 5}} = \frac{10}{\sqrt{(x + 1)(x - 5)}} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$\begin{cases} \frac{x-5}{x+1} \ge 0 \\ \frac{x+1}{x-5} \ge 0 \\ (x+1)(x-5) > 0 \end{cases}$

Решением системы является $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

2. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{(x+1)(x-5)}$, что является равносильным преобразованием в ОДЗ.

$\sqrt{\frac{x-5}{x+1}} \cdot \sqrt{(x+1)(x-5)} + \sqrt{\frac{x+1}{x-5}} \cdot \sqrt{(x+1)(x-5)} = 10$

$\sqrt{(x-5)^2} + \sqrt{(x+1)^2} = 10$

$|x-5| + |x+1| = 10$

3. Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x > 5$.

В этом случае $x-5 > 0$ и $x+1 > 0$. Раскрываем модули:

$(x-5) + (x+1) = 10$

$2x - 4 = 10$

$2x = 14$

$x = 7$

Корень $x=7$ удовлетворяет условию $x>5$.

Случай 2: $x < -1$.

В этом случае $x-5 < 0$ и $x+1 < 0$. Раскрываем модули с противоположными знаками:

$-(x-5) - (x+1) = 10$

$-x + 5 - x - 1 = 10$

$-2x + 4 = 10$

$-2x = 6$

$x = -3$

Корень $x=-3$ удовлетворяет условию $x<-1$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 7$.

10.34 a) $log_2(x + 2) + log_2(3x + 2) = log_2(5x + 22);$

б) $log_3(x - 5) + log_3(x + 1) = log_3(3x + 3);$

в) $log_5(x - 6) + log_5(2x + 11) = log_5(3x + 4);$

г) $log_4(2x + 6) + log_4(3x - 14) = log_4(3x + 1).$

а)

Дано уравнение: $\log_2(x + 2) + \log_2(3x + 2) = \log_2(5x + 22)$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3x + 2 > 0 \\ 5x + 22 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > -2/3 \\ x > -22/5 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > -2/3$.

2. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$ для левой части уравнения:

$\log_2((x + 2)(3x + 2)) = \log_2(5x + 22)$

3. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(x + 2)(3x + 2) = 5x + 22$

$3x^2 + 2x + 6x + 4 = 5x + 22$

$3x^2 + 8x + 4 = 5x + 22$

$3x^2 + 3x - 18 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -2/3$):

$x_1 = 2$: $2 > -2/3$, корень подходит.

$x_2 = -3$: $-3 < -2/3$, корень не подходит (посторонний).

Ответ: 2.

б)

Дано уравнение: $\log_3(x - 5) + \log_3(x + 1) = \log_3(3x + 3)$.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 3x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > -1 \\ x > -1 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 5$.

2. Преобразуем уравнение:

$\log_3((x - 5)(x + 1)) = \log_3(3x + 3)$

3. Приравниваем аргументы:

$(x - 5)(x + 1) = 3x + 3$

$x^2 + x - 5x - 5 = 3x + 3$

$x^2 - 4x - 5 = 3x + 3$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 8$, $x_2 = -1$.

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 5$):

$x_1 = 8$: $8 > 5$, корень подходит.

$x_2 = -1$: $-1 < 5$, корень не подходит.

Ответ: 8.

в)

Дано уравнение: $\log_5(x - 6) + \log_5(2x + 11) = \log_5(3x + 4)$.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 6 > 0 \\ 2x + 11 > 0 \\ 3x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ x > -5.5 \\ x > -4/3 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 6$.

2. Преобразуем уравнение:

$\log_5((x - 6)(2x + 11)) = \log_5(3x + 4)$

3. Приравниваем аргументы:

$(x - 6)(2x + 11) = 3x + 4$

$2x^2 + 11x - 12x - 66 = 3x + 4$

$2x^2 - x - 66 = 3x + 4$

$2x^2 - 4x - 70 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 2x - 35 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -5$.

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 6$):

$x_1 = 7$: $7 > 6$, корень подходит.

$x_2 = -5$: $-5 < 6$, корень не подходит.

Ответ: 7.

г)

Дано уравнение: $\log_4(2x + 6) + \log_4(3x - 14) = \log_4(3x + 1)$.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x + 6 > 0 \\ 3x - 14 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > 14/3 \\ x > -1/3 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 14/3$.

2. Преобразуем уравнение:

$\log_4((2x + 6)(3x - 14)) = \log_4(3x + 1)$

3. Приравниваем аргументы:

$(2x + 6)(3x - 14) = 3x + 1$

$6x^2 - 28x + 18x - 84 = 3x + 1$

$6x^2 - 10x - 84 = 3x + 1$

$6x^2 - 13x - 85 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-85) = 169 + 2040 = 2209 = 47^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 47}{12}$

$x_1 = \frac{13 + 47}{12} = \frac{60}{12} = 5$

$x_2 = \frac{13 - 47}{12} = \frac{-34}{12} = -\frac{17}{6}$

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 14/3 \approx 4.67$):

$x_1 = 5$: $5 > 14/3$, корень подходит.

$x_2 = -17/6 \approx -2.83$: $-17/6 < 14/3$, корень не подходит.

Ответ: 5.

10.35 a) $\log_5 (x - 5)^2 = 2 \log_5 \sqrt{x}$;

б) $\log_3 (x - 3)^2 = 2 \log_3 \sqrt{x}$;

в) $\lg (x - 2)^2 = 2 \lg \sqrt{3 - x}$;

г) $\lg (x - 1)^2 = 2 \lg \sqrt{2 - x}$.

а) $\log_{5}(x - 5)^2 = 2\log_{5}\sqrt{x}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} (x - 5)^2 > 0 \\ \sqrt{x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 5 \\ x > 0 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (0, 5) \cup (5, +\infty)$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $\log_{a}(b^k) = k\log_{a}|b|$ для четного $k$, и $k\log_a b = \log_a (b^k)$:
$2\log_{5}|x - 5| = 2\log_{5}(x^{1/2})$
$2\log_{5}|x - 5| = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{5}x$
$2\log_{5}|x - 5| = \log_{5}x$
$\log_{5}(|x - 5|^2) = \log_{5}x$
Так как $|a|^2 = a^2$, то $|x - 5|^2 = (x - 5)^2$:
$\log_{5}((x - 5)^2) = \log_{5}x$

3. Приравняем аргументы логарифмов:
$(x - 5)^2 = x$
$x^2 - 10x + 25 = x$
$x^2 - 11x + 25 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 121 - 100 = 21$
$x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{21}}{2}$

5. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ.
$x_1 = \frac{11 + \sqrt{21}}{2}$. Так как $4 < \sqrt{21} < 5$, то $x_1 \approx \frac{11 + 4.58}{2} \approx 7.79$. Этот корень принадлежит интервалу $(5, +\infty)$, значит, удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \frac{11 - \sqrt{21}}{2}$. $x_2 \approx \frac{11 - 4.58}{2} \approx 3.21$. Этот корень принадлежит интервалу $(0, 5)$, значит, удовлетворяет ОДЗ.
Оба корня подходят.

Ответ: $x_1 = \frac{11 - \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{11 + \sqrt{21}}{2}$.

б) $\log_{3}(x - 3)^2 = 2\log_{3}\sqrt{x}$

1. ОДЗ:
$\begin{cases} (x - 3)^2 > 0 \\ \sqrt{x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 3 \\ x > 0 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (0, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Преобразуем уравнение:
$2\log_{3}|x - 3| = 2\log_{3}(x^{1/2})$
$2\log_{3}|x - 3| = \log_{3}x$
$\log_{3}(|x - 3|^2) = \log_{3}x$
$\log_{3}((x - 3)^2) = \log_{3}x$

3. Приравняем аргументы:
$(x - 3)^2 = x$
$x^2 - 6x + 9 = x$
$x^2 - 7x + 9 = 0$

4. Решим квадратное уравнение:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13$
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$

5. Проверим корни по ОДЗ.
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$. Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $x_1 \approx \frac{7 + 3.6}{2} = 5.3$. $5.3 > 3$, корень подходит.
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$. $x_2 \approx \frac{7 - 3.6}{2} = 1.7$. $0 < 1.7 < 3$, корень подходит.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}, x_2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$.

в) $\lg(x - 2)^2 = 2\lg\sqrt{3 - x}$

1. ОДЗ ($lg$ - это $log_{10}$):
$\begin{cases} (x - 2)^2 > 0 \\ \sqrt{3 - x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 2 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 2 \\ x < 3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.

2. Преобразуем уравнение:
$2\lg|x - 2| = 2\lg((3-x)^{1/2})$
$2\lg|x - 2| = \lg(3-x)$
$\lg(|x - 2|^2) = \lg(3-x)$
$\lg((x - 2)^2) = \lg(3-x)$

3. Приравняем аргументы:
$(x - 2)^2 = 3 - x$
$x^2 - 4x + 4 = 3 - x$
$x^2 - 3x + 1 = 0$

4. Решим квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$
$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

5. Проверим корни по ОДЗ.
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $x_1 \approx \frac{3 + 2.24}{2} \approx 2.62$. $2 < 2.62 < 3$, корень подходит.
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$. $x_2 \approx \frac{3 - 2.24}{2} \approx 0.38$. $0.38 < 2$, корень подходит.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

г) $\lg(x - 1)^2 = 2\lg\sqrt{2 - x}$

1. ОДЗ:
$\begin{cases} (x - 1)^2 > 0 \\ \sqrt{2 - x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 1 \\ 2 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 1 \\ x < 2 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, 2)$.

2. Преобразуем уравнение:
$2\lg|x - 1| = \lg(2-x)$
$\lg((x - 1)^2) = \lg(2-x)$

3. Приравняем аргументы:
$(x - 1)^2 = 2 - x$
$x^2 - 2x + 1 = 2 - x$
$x^2 - x - 1 = 0$

4. Решим квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

5. Проверим корни по ОДЗ.
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.24}{2} \approx 1.62$. $1 < 1.62 < 2$, корень подходит.
$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 - 2.24}{2} \approx -0.62$. $-0.62 < 1$, корень подходит.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

10.36 a) $ \text{lg} (8x + 11) + \sqrt{x} = \text{lg} (x^2 + 2) + \sqrt{x}; $

б) $ \text{lg} (x + 8) + \sqrt{-x} = \text{lg} (x^2 + 2) + \sqrt{-x}. $

а) $lg(8x + 11) + \sqrt{x} = lg(x^2 + 2) + \sqrt{x}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными, а выражение под знаком квадратного корня — неотрицательным.
Получаем систему неравенств:

$ \begin{cases} 8x + 11 > 0 \\ x^2 + 2 > 0 \\ x \ge 0 \end{cases} $

Решим систему:
1) $8x > -11 \implies x > -11/8$
2) $x^2 + 2 > 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 2 \ge 2$.
3) $x \ge 0$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 0$, то есть $x \in [0, +\infty)$.

Теперь решим само уравнение. Заметим, что в обеих частях уравнения присутствует слагаемое $\sqrt{x}$. Вычтем его из обеих частей:

$lg(8x + 11) + \sqrt{x} - \sqrt{x} = lg(x^2 + 2) + \sqrt{x} - \sqrt{x}$
$lg(8x + 11) = lg(x^2 + 2)$

Так как основания логарифмов равны (это десятичный логарифм), мы можем приравнять выражения под знаками логарифмов:

$8x + 11 = x^2 + 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 2 - 11 = 0$
$x^2 - 8x - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$
$\sqrt{D} = 10$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 \ge 0$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 9.

б) $lg(x + 8) + \sqrt{-x} = lg(x^2 + 2) + \sqrt{-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x + 8 > 0 \\ x^2 + 2 > 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} $

Решим систему неравенств:
1) $x + 8 > 0 \implies x > -8$
2) $x^2 + 2 > 0$ истинно для всех действительных $x$.
3) $-x \ge 0 \implies x \le 0$
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $-8 < x \le 0$, то есть $x \in (-8, 0]$.

Упростим исходное уравнение, вычтя из обеих частей $\sqrt{-x}$:

$lg(x + 8) = lg(x^2 + 2)$

Так как логарифмическая функция монотонна, приравниваем аргументы логарифмов:

$x + 8 = x^2 + 2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - x + 2 - 8 = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
По теореме Виета: сумма корней равна $1$, произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
$\sqrt{D} = 5$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($-8 < x \le 0$).
Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $3 > 0$. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -2$ входит в ОДЗ, так как $-8 < -2 \le 0$.

Следовательно, решением уравнения является только $x = -2$.

Ответ: -2.

10.37 a) $\lg(x - 1) + \sqrt{9 - x^2} = \lg(x - 1) + \sqrt{x + 5};$

б) $\lg(1 - x) + \sqrt{25 - x^2} = \lg(1 - x) + \sqrt{x + 16}.$

а)

Дано уравнение: $lg(x-1) + \sqrt{9-x^2} = lg(x-1) + \sqrt{x+5}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, а выражения под знаками квадратных корней — неотрицательными.
Система неравенств для ОДЗ:
1. $x - 1 > 0 \implies x > 1$
2. $9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9 \implies -3 \le x \le 3$
3. $x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$
Найдем пересечение этих трех условий: $x \in (1, 3]$.

Теперь решим уравнение. Заметим, что слагаемое $lg(x-1)$ присутствует в обеих частях уравнения. Вычтем его из обеих частей:
$\sqrt{9-x^2} = \sqrt{x+5}$
Поскольку обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней:
$9 - x^2 = x + 5$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + x + 5 - 9 = 0$
$x^2 + x - 4 = 0$
Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ: $x \in (1, 3]$.
Корень $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ является отрицательным числом, так как $\sqrt{17} > 0$. Следовательно, он не входит в ОДЗ.
Проверим корень $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$. Оценим его значение. Мы знаем, что $4^2=16$ и $5^2=25$, значит $4 < \sqrt{17} < 5$.
Тогда $4-1 < \sqrt{17}-1 < 5-1 \implies 3 < \sqrt{17}-1 < 4$.
Разделив на 2, получим: $\frac{3}{2} < \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} < \frac{4}{2}$, то есть $1.5 < x_2 < 2$.
Это значение принадлежит интервалу $(1, 3]$, следовательно, $x_2$ является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{17}-1}{2}$

б)

Дано уравнение: $lg(1-x) + \sqrt{25-x^2} = lg(1-x) + \sqrt{x+16}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. $1 - x > 0 \implies x < 1$
2. $25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25 \implies -5 \le x \le 5$
3. $x + 16 \ge 0 \implies x \ge -16$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in [-5, 1)$.

Упростим уравнение, вычтя $lg(1-x)$ из обеих частей:
$\sqrt{25-x^2} = \sqrt{x+16}$
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$25 - x^2 = x + 16$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + x + 16 - 25 = 0$
$x^2 + x - 9 = 0$
Решим через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 1 + 36 = 37$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{37}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{37}}{2}$

Проверим принадлежность корней ОДЗ: $x \in [-5, 1)$.
Для корня $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{37}}{2}$: оценим его значение. Мы знаем, что $6^2=36$ и $7^2=49$, значит $6 < \sqrt{37} < 7$.
Тогда $-1-7 < -1-\sqrt{37} < -1-6 \implies -8 < -1-\sqrt{37} < -7$.
Разделив на 2, получим: $-4 < x_1 < -3.5$.
Это значение принадлежит интервалу $[-5, 1)$, следовательно, $x_1$ является решением.
Для корня $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{37}}{2}$: оценим его значение. $6 < \sqrt{37} < 7$.
Тогда $6-1 < \sqrt{37}-1 < 7-1 \implies 5 < \sqrt{37}-1 < 6$.
Разделив на 2, получим: $2.5 < x_2 < 3$.
Это значение не входит в интервал $[-5, 1)$, так как $x_2 > 1$.

Ответ: $x = \frac{-1 - \sqrt{37}}{2}$

10.38 a) $\log_2 x = 2 \log_2 (x - 3) + 2;$

Б) $\log_5 x = 2 \log_5 (6 - x) + 1;$

В) $\log_3 (x - 2) - 3 \log_{x - 2} 9 = 1;$

Г) $\log_2 (x - 3) + 3 \log_{x - 3} 4 = 5.$

а) $log_2 x = 2log_2(x - 3) + 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Представим число $2$ как логарифм по основанию $2$: $2 = log_2 2^2 = log_2 4$.
$log_2 x = 2log_2(x - 3) + log_2 4$
Используем свойство $n \cdot log_a b = log_a b^n$:
$log_2 x = log_2(x - 3)^2 + log_2 4$
Используем свойство $log_a b + log_a c = log_a(bc)$:
$log_2 x = log_2(4 \cdot (x - 3)^2)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = 4(x - 3)^2$
$x = 4(x^2 - 6x + 9)$
$x = 4x^2 - 24x + 36$
$4x^2 - 25x + 36 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 36 = 625 - 576 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$
$x_2 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{2} = 4.5$

Оба корня $x_1 = 4$ и $x_2 = 4.5$ принадлежат ОДЗ ($x > 3$).

Ответ: $4; 4.5$.

б) $log_5 x = 2log_5(6 - x) + 1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ 6 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 6 \end{cases} \implies 0 < x < 6$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 6)$.

Преобразуем уравнение. Представим $1$ как $log_5 5$.
$log_5 x = 2log_5(6 - x) + log_5 5$
$log_5 x = log_5(6 - x)^2 + log_5 5$
$log_5 x = log_5(5 \cdot (6 - x)^2)$
Приравниваем аргументы:
$x = 5(6 - x)^2$
$x = 5(36 - 12x + x^2)$
$x = 180 - 60x + 5x^2$
$5x^2 - 61x + 180 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-61)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 180 = 3721 - 3600 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{61 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{72}{10} = 7.2$
$x_2 = \frac{61 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($0 < x < 6$).
$x_1 = 7.2$ не принадлежит ОДЗ.
$x_2 = 5$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $5$.

в) $log_3(x - 2) - 3log_{x-2} 9 = 1$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \neq 3 \end{cases}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$.
$log_{x-2} 9 = \frac{log_3 9}{log_3(x-2)} = \frac{2}{log_3(x-2)}$
Подставим в исходное уравнение:
$log_3(x - 2) - 3 \cdot \frac{2}{log_3(x-2)} = 1$
$log_3(x - 2) - \frac{6}{log_3(x-2)} = 1$
Сделаем замену. Пусть $t = log_3(x - 2)$. Заметим, что $t \neq 0$, так как $x \neq 3$.
$t - \frac{6}{t} = 1$
$t^2 - 6 = t$
$t^2 - t - 6 = 0$
По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Вернемся к замене:
1) $log_3(x - 2) = 3 \implies x - 2 = 3^3 \implies x - 2 = 27 \implies x_1 = 29$.
2) $log_3(x - 2) = -2 \implies x - 2 = 3^{-2} \implies x - 2 = \frac{1}{9} \implies x_2 = 2 + \frac{1}{9} = \frac{19}{9}$.
Оба корня $x_1 = 29$ и $x_2 = \frac{19}{9}$ (т.к. $2 < \frac{19}{9} < 3$) принадлежат ОДЗ.

Ответ: $29; \frac{19}{9}$.

г) $log_2(x - 3) + 3log_{x-3} 4 = 5$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 3 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x \neq 4 \end{cases}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (3, 4) \cup (4, +\infty)$.

Используем формулу перехода к новому основанию:
$log_{x-3} 4 = \frac{log_2 4}{log_2(x-3)} = \frac{2}{log_2(x-3)}$
Подставим в уравнение:
$log_2(x - 3) + 3 \cdot \frac{2}{log_2(x-3)} = 5$
$log_2(x - 3) + \frac{6}{log_2(x-3)} = 5$
Сделаем замену. Пусть $t = log_2(x - 3)$. Заметим, что $t \neq 0$, так как $x \neq 4$.
$t + \frac{6}{t} = 5$
$t^2 + 6 = 5t$
$t^2 - 5t + 6 = 0$
По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.
Вернемся к замене:
1) $log_2(x - 3) = 2 \implies x - 3 = 2^2 \implies x - 3 = 4 \implies x_1 = 7$.
2) $log_2(x - 3) = 3 \implies x - 3 = 2^3 \implies x - 3 = 8 \implies x_2 = 11$.
Оба корня $x_1 = 7$ и $x_2 = 11$ принадлежат ОДЗ.

Ответ: $7; 11$.

10.39 a) $\log_3 x - \frac{2}{1 + \log_x 27} = \frac{6}{3 + \log_3 x}$

б) $\log_2 x - \frac{8}{2 + \log_2 x} = \frac{4}{1 + \log_x 4}$

а) $log_3 x - \frac{2}{1 + log_x 27} = \frac{6}{3 + log_3 x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма не должно равняться единице: $x > 0$ и $x \neq 1$. Также знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$1 + log_x 27 \neq 0 \Rightarrow log_x 27 \neq -1 \Rightarrow x^{-1} \neq 27 \Rightarrow \frac{1}{x} \neq 27 \Rightarrow x \neq \frac{1}{27}$.

$3 + log_3 x \neq 0 \Rightarrow log_3 x \neq -3 \Rightarrow x \neq 3^{-3} \Rightarrow x \neq \frac{1}{27}$.

Таким образом, ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{27}$.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$:

$log_x 27 = \frac{log_3 27}{log_3 x} = \frac{3}{log_3 x}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$log_3 x - \frac{2}{1 + \frac{3}{log_3 x}} = \frac{6}{3 + log_3 x}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = log_3 x$. Исходя из ОДЗ, $t \neq 0$ (так как $x \neq 1$) и $t \neq -3$ (так как $x \neq \frac{1}{27}$). Уравнение примет вид:

$t - \frac{2}{1 + \frac{3}{t}} = \frac{6}{3 + t}$.

Упростим левую часть:

$t - \frac{2}{\frac{t+3}{t}} = \frac{6}{t+3}$

$t - \frac{2t}{t+3} = \frac{6}{t+3}$.

Умножим обе части уравнения на $(t+3)$, так как мы знаем, что $t+3 \neq 0$:

$t(t+3) - 2t = 6$

$t^2 + 3t - 2t = 6$

$t^2 + t - 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -1$

$t_1 \cdot t_2 = -6$

Отсюда $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Сравним корни с ограничениями для $t$: $t_1 = -3$ является посторонним корнем, так как $t \neq -3$. Корень $t_2 = 2$ удовлетворяет всем условиям.

Выполним обратную замену:

$log_3 x = 2$

$x = 3^2$

$x = 9$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{27}$). Корень $x=9$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $9$.

б) $log_2 x - \frac{8}{2 + log_2 x} = \frac{4}{1 + log_x 4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$. Требования к знаменателям:

$2 + log_2 x \neq 0 \Rightarrow log_2 x \neq -2 \Rightarrow x \neq 2^{-2} \Rightarrow x \neq \frac{1}{4}$.

$1 + log_x 4 \neq 0 \Rightarrow log_x 4 \neq -1 \Rightarrow x^{-1} \neq 4 \Rightarrow \frac{1}{x} \neq 4 \Rightarrow x \neq \frac{1}{4}$.

ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{4}$.

Приведем логарифмы к основанию 2:

$log_x 4 = \frac{log_2 4}{log_2 x} = \frac{2}{log_2 x}$.

Подставим в уравнение:

$log_2 x - \frac{8}{2 + log_2 x} = \frac{4}{1 + \frac{2}{log_2 x}}$.

Сделаем замену. Пусть $y = log_2 x$. Из ОДЗ следует, что $y \neq 0$ (так как $x \neq 1$) и $y \neq -2$ (так как $x \neq \frac{1}{4}$).

$y - \frac{8}{2+y} = \frac{4}{1 + \frac{2}{y}}$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$y - \frac{8}{y+2} = \frac{4}{\frac{y+2}{y}}$

$y - \frac{8}{y+2} = \frac{4y}{y+2}$.

Так как $y+2 \neq 0$, умножим обе части на $(y+2)$:

$y(y+2) - 8 = 4y$

$y^2 + 2y - 8 = 4y$

$y^2 - 2y - 8 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 2$

$y_1 \cdot y_2 = -8$

Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.

Проверим корни с учетом ограничений на $y$: $y_1 = 4$ подходит. $y_2 = -2$ — посторонний корень, так как $y \neq -2$.

Выполним обратную замену для $y=4$:

$log_2 x = 4$

$x = 2^4$

$x = 16$.

Проверим корень по ОДЗ ($x > 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{4}$). Корень $x=16$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $16$.