Страница 276 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

10.23* Докажите справедливость утверждений о потенцировании и логарифмировании уравнений, о приведении подобных членов и о применении формул.

Доказательство утверждения о потенцировании уравнений

Потенцированием уравнения $f(x) = g(x)$ называется переход к уравнению $f(x)^n = g(x)^n$, где $n$ — некоторое число. Равносильность этого перехода зависит от показателя степени $n$.

Пусть $x_0$ — корень исходного уравнения, то есть $f(x_0) = g(x_0)$ — верное числовое равенство. Тогда, по свойствам степеней, равенство $f(x_0)^n = g(x_0)^n$ также будет верным. Это означает, что любой корень исходного уравнения является корнем нового уравнения. Однако обратное может быть неверно, что приведет к появлению посторонних корней.

Рассмотрим два случая:

1. Показатель степени $n$ — нечетное натуральное число ($n=2k+1, k \in \mathbb{N}$).
Функция $y=t^n$ для нечетного $n$ является строго монотонной на всей числовой оси. Из этого следует, что для любых чисел $a$ и $b$ равенство $a^n=b^n$ выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$. Следовательно, уравнение $f(x)^n = g(x)^n$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$ на общей области определения. Таким образом, возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием.

2. Показатель степени $n$ — четное натуральное число ($n=2k, k \in \mathbb{N}$).
Функция $y=t^n$ для четного $n$ не является монотонной. Равенство $a^n = b^n$ для четного $n$ равносильно равенству $|a|=|b|$, что, в свою очередь, равносильно совокупности двух равенств: $a=b$ или $a=-b$. Поэтому уравнение $f(x)^n = g(x)^n$ равносильно совокупности уравнений $f(x)=g(x)$ и $f(x)=-g(x)$. Второе уравнение может давать посторонние корни для исходного уравнения.
Однако, если обе части исходного уравнения $f(x)=g(x)$ имеют одинаковый знак на его области определения (например, обе неотрицательны: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$), то возведение в четную степень является равносильным преобразованием. Действительно, если $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$, то уравнение $f(x)=-g(x)$ может выполняться только при $f(x)=g(x)=0$, а эти значения являются корнями и исходного уравнения. В этом случае $f(x)^n = g(x)^n \iff |f(x)|=|g(x)| \iff f(x)=g(x)$.

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием. Возведение в четную степень является равносильным преобразованием только в том случае, если обе части уравнения на его области определения имеют одинаковый знак (чаще всего — неотрицательны).

Доказательство утверждения о логарифмировании уравнений

Логарифмированием уравнения $f(x) = g(x)$ по основанию $a$ ($a>0, a \neq 1$) называется переход к уравнению $\log_a f(x) = \log_a g(x)$.

Это преобразование не всегда является равносильным, так как оно сужает область определения (ОДЗ). Логарифмическая функция $y=\log_a t$ определена только для $t>0$. Следовательно, уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ имеет смысл только для тех $x$, для которых одновременно выполняются условия $f(x)>0$ и $g(x)>0$.

Докажем, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$. (Условие $g(x)>0$ здесь избыточно, так как оно следует из первых двух).

1. Пусть $x_0$ — решение системы. Тогда $f(x_0)=g(x_0)$ и $f(x_0)>0$. Так как $f(x_0)>0$, то и $g(x_0)>0$. Следовательно, выражения $\log_a f(x_0)$ и $\log_a g(x_0)$ определены. Из равенства $f(x_0)=g(x_0)$ следует равенство $\log_a f(x_0) = \log_a g(x_0)$. Значит, $x_0$ — корень логарифмического уравнения.

2. Пусть $x_0$ — корень уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. По определению логарифма, $f(x_0)>0$ и $g(x_0)>0$. Логарифмическая функция $y=\log_a t$ является строго монотонной, а значит, взаимно-однозначной. Поэтому из равенства $\log_a f(x_0) = \log_a g(x_0)$ следует равенство $f(x_0) = g(x_0)$. Таким образом, $x_0$ удовлетворяет системе $\begin{cases} f(x_0) = g(x_0) \\ f(x_0) > 0 \end{cases}$.

Итак, переход от уравнения $f(x)=g(x)$ к уравнению $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ является равносильным преобразованием на множестве тех $x$, для которых $f(x)>0$ (и, следовательно, $g(x)>0$).

Ответ: Преобразование логарифмирования уравнения $f(x)=g(x)$ является равносильным, если рассматривать только те решения, для которых обе части уравнения положительны.

Доказательство утверждения о приведении подобных членов

Приведение подобных членов и перенос слагаемых из одной части уравнения в другую являются тождественными преобразованиями выражений, основанными на аксиомах арифметики (коммутативном, ассоциативном и дистрибутивном законах).

Рассмотрим уравнение $F(x) = G(x)$ с областью определения (ОДЗ) $D$.

Приведение подобных членов в одной из частей уравнения, например в левой, означает замену выражения $F(x)$ на тождественно равное ему выражение $F_1(x)$. Тождественное равенство $F(x) = F_1(x)$ на множестве $D$ означает, что для любого $x \in D$ значения выражений $F(x)$ и $F_1(x)$ совпадают.

Докажем, что уравнение $F_1(x) = G(x)$ равносильно исходному уравнению $F(x) = G(x)$ на ОДЗ $D$.

1. Пусть $x_0 \in D$ — корень уравнения $F(x) = G(x)$. Это значит, что $F(x_0) = G(x_0)$ — верное числовое равенство. Так как преобразование $F(x) \to F_1(x)$ является тождественным на $D$, то $F(x_0) = F_1(x_0)$. Заменяя в верном равенстве $F(x_0)$ на $F_1(x_0)$, получаем $F_1(x_0) = G(x_0)$, что означает, что $x_0$ является корнем уравнения $F_1(x) = G(x)$.

2. Пусть теперь $x_0 \in D$ — корень уравнения $F_1(x) = G(x)$, то есть $F_1(x_0) = G(x_0)$. Так как $F(x_0) = F_1(x_0)$, то, проведя обратную замену, получим $F(x_0) = G(x_0)$, то есть $x_0$ — корень исходного уравнения.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают, эти уравнения равносильны. Важно, чтобы приведение подобных членов не изменяло ОДЗ уравнения. Стандартные алгебраические преобразования, такие как $k \cdot H(x) + m \cdot H(x) = (k+m) \cdot H(x)$, не меняют ОДЗ.

Ответ: Приведение подобных членов является равносильным преобразованием уравнения, так как оно представляет собой замену выражения на тождественно равное ему на области определения уравнения.

Доказательство утверждения о применении формул

Применение формул при решении уравнений — это замена некоторого выражения $A(x)$, входящего в уравнение, другим выражением $B(x)$ на основании тождества $A(x) = B(x)$.

Пусть дано уравнение $H(A(x)) = G(x)$ с ОДЗ $D$. Мы хотим заменить его на уравнение $H(B(x)) = G(x)$, используя формулу $A(x)=B(x)$.

Это преобразование является равносильным, если тождество $A(x)=B(x)$ выполняется для всех $x$ из ОДЗ $D$ исходного уравнения.

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Если $x_0 \in D$ — корень первого уравнения, то $H(A(x_0)) = G(x_0)$ — верное равенство. Так как $A(x_0) = B(x_0)$, то и $H(B(x_0)) = G(x_0)$ — верное равенство. Следовательно, $x_0$ — корень второго уравнения. Обратное доказывается так же.

Ключевая проблема заключается в том, что область, на которой верна формула (тождество), может не совпадать с ОДЗ уравнения. Если область истинности формулы уже, чем ОДЗ, то можно потерять корни. Если шире — приобрести посторонние.

Пример. Решить уравнение $\log_3 x^2 = 2$. ОДЗ: $x \neq 0$. Если применить формулу $\log_a u^2 = 2 \log_a u$, которая верна только для $u > 0$, то получим уравнение $2 \log_3 x = 2$, или $\log_3 x = 1$. Его корень $x=3$. При этом теряется корень $x=-3$ исходного уравнения, так как $\log_3 (-3)^2 = \log_3 9 = 2$. Правильным было бы применить формулу $\log_a u^2 = 2 \log_a |u|$, верную для всех $u \neq 0$, то есть на всей ОДЗ исходного уравнения. Тогда получаем равносильное уравнение $2 \log_3 |x| = 2 \iff \log_3 |x| = 1 \iff |x|=3$, откуда $x = \pm 3$.

Ответ: Применение формулы, то есть замена выражения на тождественно равное ему, является равносильным преобразованием уравнения тогда и только тогда, когда используемое тождество справедливо для всех значений переменной из области определения исходного уравнения.

Решите уравнение (10.24—10.30):

10.24 a) $ \lg (x^2 - 4) = \lg (x - 1);$

б) $ \log_2 (x^2 - 9) = \log_2 (2 - x) + 1;$

в) $ \lg 3x^2 = \lg (2x + 1);$

г) $ \log_2 (16 - x^2) = \log_2 (1 + x) + 1.$

а) $\lg(x^2 - 4) = \lg(x - 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$
Решим систему неравенств:
$x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0 \implies x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.
$x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Пересечением этих условий является промежуток $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

2. Так как основания логарифмов равны, приравняем их аргументы:
$x^2 - 4 = x - 1$
$x^2 - x - 3 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

4. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x > 2$):
Для $x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $4 < 1 + \sqrt{13} < 5$, и $\frac{4}{2} < \frac{1 + \sqrt{13}}{2} < \frac{5}{2}$. То есть, $2 < x_1 < 2.5$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Для $x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$: так как $\sqrt{13} > 1$, то $1 - \sqrt{13} < 0$, следовательно, $x_2 < 0$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

б) $\log_2(x^2 - 9) = \log_2(2 - x) + 1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 9 > 0 \\ 2 - x > 0 \end{cases}$
$x^2 - 9 > 0 \implies (x-3)(x+3) > 0 \implies x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.
$2 - x > 0 \implies x < 2$.
Пересечением этих условий является промежуток $x < -3$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -3)$.

2. Преобразуем уравнение, представив 1 как логарифм по основанию 2: $1 = \log_2 2$.
$\log_2(x^2 - 9) = \log_2(2 - x) + \log_2 2$
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2(x^2 - 9) = \log_2(2(2 - x))$
Приравняем аргументы:
$x^2 - 9 = 2(2 - x)$
$x^2 - 9 = 4 - 2x$
$x^2 + 2x - 13 = 0$

3. Решим квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -1 \pm \sqrt{14}$.
$x_1 = -1 + \sqrt{14}$
$x_2 = -1 - \sqrt{14}$

4. Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x < -3$):
Для $x_1 = -1 + \sqrt{14}$: так как $3 < \sqrt{14} < 4$, то $2 < -1 + \sqrt{14} < 3$. Этот корень не входит в ОДЗ.
Для $x_2 = -1 - \sqrt{14}$: так как $3 < \sqrt{14} < 4$, то $-5 < -1 - \sqrt{14} < -4$. Этот корень удовлетворяет условию $x < -3$.

Ответ: $-1 - \sqrt{14}$.

в) $\lg 3x^2 = \lg(2x + 1)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x^2 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases}$
$3x^2 > 0 \implies x^2 > 0 \implies x \neq 0$.
$2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0.5$.
ОДЗ: $x \in (-0.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Приравняем аргументы логарифмов:
$3x^2 = 2x + 1$
$3x^2 - 2x - 1 = 0$

3. Решим квадратное уравнение:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}$.
$x_1 = \frac{2 + 4}{6} = 1$
$x_2 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

4. Проверим корни на принадлежность ОДЗ:
$x_1 = 1$. Корень удовлетворяет ОДЗ, так как $1 > 0$.
$x_2 = -1/3$. Корень удовлетворяет ОДЗ, так как $-0.5 < -1/3 < 0$.
Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $1; -\frac{1}{3}$.

г) $\log_2(16 - x^2) = \log_2(1 + x) + 1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 16 - x^2 > 0 \\ 1 + x > 0 \end{cases}$
$16 - x^2 > 0 \implies x^2 < 16 \implies -4 < x < 4$.
$1 + x > 0 \implies x > -1$.
Пересечением является интервал $(-1; 4)$. ОДЗ: $x \in (-1; 4)$.

2. Преобразуем уравнение:
$\log_2(16 - x^2) = \log_2(1 + x) + \log_2 2$
$\log_2(16 - x^2) = \log_2(2(1 + x))$
$16 - x^2 = 2 + 2x$
$x^2 + 2x - 14 = 0$

3. Решим квадратное уравнение:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 4 + 56 = 60$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -1 \pm \sqrt{15}$.
$x_1 = -1 + \sqrt{15}$
$x_2 = -1 - \sqrt{15}$

4. Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \in (-1; 4)$):
Для $x_1 = -1 + \sqrt{15}$: так как $3 < \sqrt{15} < 4$, то $2 < -1 + \sqrt{15} < 3$. Этот корень входит в ОДЗ.
Для $x_2 = -1 - \sqrt{15}$: так как $\sqrt{15} > 0$, то $-1 - \sqrt{15} < -1$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Ответ: $-1 + \sqrt{15}$.