Страница 283 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанно-му промежутку (10.48—10.53):

10.48 а) $ \sin 2x + 2 \sin x - \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}, (0; \pi); $

б) $ \sin 2x - 2 \sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}, \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]. $

а) $sin(2x) + 2sin(x) - \sqrt{3}cos(x) = \sqrt{3}$, $x \in (0; \pi)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:
$2sin(x)cos(x) + 2sin(x) - \sqrt{3}cos(x) - \sqrt{3} = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(2sin(x)cos(x) + 2sin(x)) - (\sqrt{3}cos(x) + \sqrt{3}) = 0$
$2sin(x)(cos(x) + 1) - \sqrt{3}(cos(x) + 1) = 0$
$(2sin(x) - \sqrt{3})(cos(x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2sin(x) - \sqrt{3} = 0 \implies sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение этого уравнения: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни, принадлежащие промежутку $(0; \pi)$.
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку.
При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку.
При других целых значениях $k$ корни не попадают в указанный промежуток.

2) $cos(x) + 1 = 0 \implies cos(x) = -1$.
Общее решение этого уравнения: $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
При $n=0$: $x = \pi$. Этот корень не принадлежит промежутку $(0; \pi)$, так как интервал строгий.
При других целых значениях $n$ корни также не попадают в указанный промежуток.

Таким образом, решениями уравнения, принадлежащими промежутку $(0; \pi)$, являются $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}$.

б) $sin(2x) - 2sin(x) + \sqrt{3}cos(x) = \sqrt{3}$, $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и используем формулу синуса двойного угла:
$2sin(x)cos(x) - 2sin(x) + \sqrt{3}cos(x) - \sqrt{3} = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(2sin(x)cos(x) - 2sin(x)) + (\sqrt{3}cos(x) - \sqrt{3}) = 0$
$2sin(x)(cos(x) - 1) + \sqrt{3}(cos(x) - 1) = 0$
$(2sin(x) + \sqrt{3})(cos(x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2sin(x) + \sqrt{3} = 0 \implies sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение этого уравнения: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3}$.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $\frac{4\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}$.
При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку.
При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку.

2) $cos(x) - 1 = 0 \implies cos(x) = 1$.
Общее решение этого уравнения: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
При $n=0$: $x = 0$. Этот корень принадлежит промежутку.
При других целых значениях $n$ корни не попадают в указанный промежуток.

Таким образом, решениями уравнения, принадлежащими промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, являются $-\frac{\pi}{3}$, $0$ и $\frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}; 0; \frac{4\pi}{3}$.

10.49 a) $\sin^2 x - \sin 2x - 3 \cos^2 x = 0, \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right);$

б) $5 \sin^2 x - 2 \sin 2x - \cos^2 x = 0, \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right).$

а) $sin^2x - sin(2x) - 3cos^2x = 0$, найти корни на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

Сначала решим уравнение. Используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$:

$sin^2x - 2sinxcosx - 3cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $cosx = 0$ решением. Если $cosx = 0$, то $sin^2x = 1$. Подставим в уравнение:

$1 - 2sinx \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 1 \neq 0$

Так как $cosx=0$ не является решением, мы можем разделить обе части уравнения на $cos^2x \neq 0$:

$\frac{sin^2x}{cos^2x} - \frac{2sinxcosx}{cos^2x} - \frac{3cos^2x}{cos^2x} = 0$

$tan^2x - 2tanx - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tanx$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим его. По теореме Виета корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к замене:

1) $tanx = 3 \implies x = arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $tanx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем корни, принадлежащие интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Для серии $x = arctan(3) + \pi n$:

При $n=0$, $x = arctan(3)$. Так как $0 < \frac{\pi}{2}$, $tan(0)=0$, $tan(\frac{\pi}{2})$ не определен, а тангенс возрастает на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то корень $arctan(3)$ принадлежит этому интервалу. При $n=1$ корень $arctan(3)+\pi$ будет больше $\frac{\pi}{2}$, а при $n=-1$ корень $arctan(3)-\pi$ будет меньше $-\frac{\pi}{2}$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. При $k=1$ корень $\frac{3\pi}{4}$ будет больше $\frac{\pi}{2}$, а при $k=-1$ корень $-\frac{5\pi}{4}$ будет меньше $-\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, на заданном интервале есть два корня.

Ответ: $arctan(3); -\frac{\pi}{4}$.

б) $5sin^2x - 2sin(2x) - cos^2x = 0$, найти корни на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$:

$5sin^2x - 2(2sinxcosx) - cos^2x = 0$

$5sin^2x - 4sinxcosx - cos^2x = 0$

Это также однородное уравнение. Проверим случай $cosx=0$. Если $cosx=0$, то $sin^2x=1$. Подставим в уравнение:

$5 \cdot 1 - 4sinx \cdot 0 - 0 = 5 \neq 0$

Значит, $cosx \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $cos^2x$:

$\frac{5sin^2x}{cos^2x} - \frac{4sinxcosx}{cos^2x} - \frac{cos^2x}{cos^2x} = 0$

$5tan^2x - 4tanx - 1 = 0$

Сделаем замену $t = tanx$:

$5t^2 - 4t - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{4+6}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$ и $t_2 = \frac{4-6}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Вернемся к замене:

1) $tanx = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $tanx = -\frac{1}{5} \implies x = arctan(-\frac{1}{5}) + \pi k = -arctan(\frac{1}{5}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Для серии $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$:

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Для серии $x = -arctan(\frac{1}{5}) + \pi k$:

При $k=0$, $x = -arctan(\frac{1}{5})$. Так как $0 < arctan(\frac{1}{5}) < \frac{\pi}{2}$, то $-\frac{\pi}{2} < -arctan(\frac{1}{5}) < 0$, следовательно, корень принадлежит заданному интервалу.

Другие целочисленные значения $n$ и $k$ дают корни, не входящие в заданный интервал.

Ответ: $\frac{\pi}{4}; -arctan(\frac{1}{5})$.

10.50 a) $|x^2-3x+2|=2x-2, [3; 5];$

б) $|x^2-2x-8|=x+2, [0; 4].$

a)

Решим уравнение $|x^2 - 3x + 2| = 2x - 2$ на отрезке $[3; 5]$.

Уравнение вида $|A| = B$ требует, чтобы правая часть была неотрицательна, то есть $B \ge 0$.

1. Проверим условие $2x - 2 \ge 0$.

$2x \ge 2 \implies x \ge 1$.

Заданный отрезок $[3; 5]$ полностью удовлетворяет этому условию, так как для любого $x \in [3; 5]$ выполняется неравенство $x \ge 1$.

2. Определим знак выражения под модулем $x^2 - 3x + 2$ на отрезке $[3; 5]$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ при $x \in (-\infty; 1] \cup [2; \infty)$.

Поскольку отрезок $[3; 5]$ целиком входит в промежуток $[2; \infty)$, то для всех $x \in [3; 5]$ выражение под модулем неотрицательно. Таким образом, на данном отрезке мы можем раскрыть модуль без изменения знака:

$|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2$

3. Решим получившееся уравнение.

$x^2 - 3x + 2 = 2x - 2$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

4. Проверим, принадлежат ли найденные корни заданному отрезку $[3; 5]$.

Корень $x_1 = 1$ не принадлежит отрезку $[3; 5]$.

Корень $x_2 = 4$ принадлежит отрезку $[3; 5]$.

Следовательно, на заданном отрезке уравнение имеет один корень.

Ответ: $4$.

б)

Решим уравнение $|x^2 - 2x - 8| = x + 2$ на отрезке $[0; 4]$.

Уравнение вида $|A| = B$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подмодульное выражение равно правой части или противоположно ей:

$ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 2x - 8 &= x + 2 \\ x^2 - 2x - 8 &= -(x + 2) \end{aligned} \right. \end{cases} $

1. Условие $x + 2 \ge 0$ дает $x \ge -2$. Заданный отрезок $[0; 4]$ полностью удовлетворяет этому условию.

2. Решим два уравнения из совокупности.

Первое уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = x + 2$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Используя формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{9 - 4(-10)}}{2} = \frac{3+7}{2}=5$ и $x_2 = \frac{3-7}{2}=-2$.

Второе уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = -(x + 2)$

$x^2 - 2x - 8 = -x - 2$

$x^2 - x - 6 = 0$

Находим корни: $x_3 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4(-6)}}{2} = \frac{1+5}{2}=3$ и $x_4 = \frac{1-5}{2}=-2$.

3. Отберем корни, принадлежащие заданному отрезку $[0; 4]$.

Из найденных корней $5, -2, 3$ только корень $x=3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$.

Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение: $|3^2 - 2 \cdot 3 - 8| = |9-6-8| = |-5| = 5$. Правая часть: $3+2=5$. Равенство $5=5$ верно.

Ответ: $3$.

10.51 a) $x^4+x^3+x^2-3x=0$, $[-2; 0];$

б) $x^4+x^3+x^2-14x=0$, $[3; 7].$

а)

Рассмотрим уравнение $x^4 + x^3 + x^2 - 3x = 0$ на отрезке $[-2; 0]$.
Для начала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^3 + x^2 + x - 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $x = 0$.
2) $x^3 + x^2 + x - 3 = 0$.

Корень $x_1 = 0$ принадлежит заданному отрезку $[-2; 0]$, следовательно, является решением задачи.

Теперь рассмотрим уравнение $x^3 + x^2 + x - 3 = 0$. Введем функцию $f(x) = x^3 + x^2 + x - 3$ и исследуем ее на наличие корней на отрезке $[-2; 0]$. Для этого найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + x^2 + x - 3)' = 3x^2 + 2x + 1$.
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю: $3x^2 + 2x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $3 > 0$, то парабола $y = 3x^2 + 2x + 1$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $f'(x) > 0$ при всех действительных значениях $x$.
Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси, включая отрезок $[-2; 0]$.

Так как функция монотонна, найдем ее значения на концах отрезка $[-2; 0]$:
$f(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) - 3 = -8 + 4 - 2 - 3 = -9$.
$f(0) = 0^3 + 0^2 + 0 - 3 = -3$.
Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает на отрезке $[-2; 0]$, ее значения на этом отрезке изменяются от -9 до -3. Таким образом, $f(x) < 0$ на отрезке $[-2; 0]$, и уравнение $f(x) = 0$ не имеет корней на данном отрезке.

Следовательно, единственным решением исходного уравнения на отрезке $[-2; 0]$ является $x = 0$.
Ответ: 0.

б)

Рассмотрим уравнение $x^4 + x^3 + x^2 - 14x = 0$ на отрезке $[3; 7]$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^3 + x^2 + x - 14) = 0$
Отсюда получаем два случая:
1) $x = 0$.
2) $x^3 + x^2 + x - 14 = 0$.

Корень $x_1 = 0$ не принадлежит заданному отрезку $[3; 7]$.

Рассмотрим уравнение $x^3 + x^2 + x - 14 = 0$. Введем функцию $g(x) = x^3 + x^2 + x - 14$ и исследуем ее на наличие корней на отрезке $[3; 7]$. Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (x^3 + x^2 + x - 14)' = 3x^2 + 2x + 1$.
Как и в пункте а), производная $g'(x) > 0$ при всех действительных значениях $x$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси, в том числе и на отрезке $[3; 7]$.

Найдем значение функции $g(x)$ на левой границе отрезка, в точке $x = 3$:
$g(3) = 3^3 + 3^2 + 3 - 14 = 27 + 9 + 3 - 14 = 39 - 14 = 25$.
Поскольку функция $g(x)$ строго возрастает на отрезке $[3; 7]$ и ее наименьшее значение на этом отрезке равно $g(3) = 25$, то для всех $x \in [3; 7]$ выполняется неравенство $g(x) \geq 25$.
Это означает, что $g(x)$ никогда не обращается в ноль на данном отрезке.

Таким образом, исходное уравнение не имеет корней на отрезке $[3; 7]$.
Ответ: корней нет.

10.52 a) $(x - \log_3 75)(x - \log_2 22) = 0, [3; 4];$

б) $(x - \log_2 17)(x - \log_2 71) = 0, [4; 5].$

а) Решим уравнение $(x - \log_{3}{75})(x - \log_{2}{22}) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому уравнение распадается на два:
1) $x - \log_{3}{75} = 0 \implies x_1 = \log_{3}{75}$
2) $x - \log_{2}{22} = 0 \implies x_2 = \log_{2}{22}$

Теперь определим, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[3; 4]$.

Проверим корень $x_1 = \log_{3}{75}$. Для этого сравним его с границами отрезка $3$ и $4$.
Представим числа $3$ и $4$ в виде логарифмов по основанию 3:
$3 = \log_{3}{3^3} = \log_{3}{27}$
$4 = \log_{3}{3^4} = \log_{3}{81}$
Сравним числа $27$, $75$ и $81$. Очевидно, что $27 < 75 < 81$.
Так как логарифмическая функция с основанием $3$ (больше 1) является возрастающей, то из неравенства $27 < 75 < 81$ следует:
$\log_{3}{27} < \log_{3}{75} < \log_{3}{81}$
$3 < \log_{3}{75} < 4$
Значит, корень $x_1 = \log_{3}{75}$ принадлежит отрезку $[3; 4]$.

Проверим корень $x_2 = \log_{2}{22}$. Сравним его с границами отрезка $3$ и $4$.
Представим числа $3$ и $4$ в виде логарифмов по основанию 2:
$3 = \log_{2}{2^3} = \log_{2}{8}$
$4 = \log_{2}{2^4} = \log_{2}{16}$
Сравним числа $16$ и $22$. Очевидно, что $22 > 16$.
Так как логарифмическая функция с основанием $2$ (больше 1) является возрастающей, то из неравенства $22 > 16$ следует:
$\log_{2}{22} > \log_{2}{16}$
$\log_{2}{22} > 4$
Значит, корень $x_2 = \log_{2}{22}$ не принадлежит отрезку $[3; 4]$.

Таким образом, заданному отрезку принадлежит только один корень.

Ответ: $\log_{3}{75}$

б) Решим уравнение $(x - \log_{2}{17})(x - \log_{2}{71}) = 0$.
Это уравнение также распадается на два:
1) $x - \log_{2}{17} = 0 \implies x_1 = \log_{2}{17}$
2) $x - \log_{2}{71} = 0 \implies x_2 = \log_{2}{71}$

Определим, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[4; 5]$.

Проверим корень $x_1 = \log_{2}{17}$. Сравним его с границами отрезка $4$ и $5$.
Представим числа $4$ и $5$ в виде логарифмов по основанию 2:
$4 = \log_{2}{2^4} = \log_{2}{16}$
$5 = \log_{2}{2^5} = \log_{2}{32}$
Сравним числа $16$, $17$ и $32$. Очевидно, что $16 < 17 < 32$.
Так как логарифмическая функция с основанием $2$ (больше 1) является возрастающей, то из неравенства $16 < 17 < 32$ следует:
$\log_{2}{16} < \log_{2}{17} < \log_{2}{32}$
$4 < \log_{2}{17} < 5$
Значит, корень $x_1 = \log_{2}{17}$ принадлежит отрезку $[4; 5]$.

Проверим корень $x_2 = \log_{2}{71}$. Сравним его с границами отрезка $4$ и $5$.
Мы уже знаем, что $5 = \log_{2}{32}$.
Сравним числа $32$ и $71$. Очевидно, что $71 > 32$.
Так как логарифмическая функция с основанием $2$ (больше 1) является возрастающей, то из неравенства $71 > 32$ следует:
$\log_{2}{71} > \log_{2}{32}$
$\log_{2}{71} > 5$
Значит, корень $x_2 = \log_{2}{71}$ не принадлежит отрезку $[4; 5]$.

Таким образом, заданному отрезку принадлежит только один корень.

Ответ: $\log_{2}{17}$

10.53* a) $3 \operatorname{tg}^2 \left(\pi x - \frac{\pi}{8}\right) = 1, \left(\frac{3}{2}; 3\right]$

б) $3 \cos 2x - 5 \cos x = 1, [0; 2\pi]$

а) Решим уравнение $3 \operatorname{tg}^2\left(\pi x - \frac{\pi}{8}\right) = 1$ и найдем корни, принадлежащие интервалу $\left(\frac{3}{2}; 3\right]$.

Сначала преобразуем уравнение:

$\operatorname{tg}^2\left(\pi x - \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{3}$

Это уравнение распадается на два:

1) $\operatorname{tg}\left(\pi x - \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

2) $\operatorname{tg}\left(\pi x - \frac{\pi}{8}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Решим каждое уравнение отдельно.

1) $\pi x - \frac{\pi}{8} = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\pi x - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{6} + \pi k$

$\pi x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{8} + \pi k$

$\pi x = \frac{4\pi + 3\pi}{24} + \pi k$

$\pi x = \frac{7\pi}{24} + \pi k$

$x = \frac{7}{24} + k$

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $\left(\frac{3}{2}; 3\right]$, то есть $1.5 < x \le 3$.

$1.5 < \frac{7}{24} + k \le 3$

$1.5 - \frac{7}{24} < k \le 3 - \frac{7}{24}$

$\frac{3}{2} - \frac{7}{24} < k \le 3 - \frac{7}{24}$

$\frac{36}{24} - \frac{7}{24} < k \le \frac{72}{24} - \frac{7}{24}$

$\frac{29}{24} < k \le \frac{65}{24}$

$1\frac{5}{24} < k \le 2\frac{17}{24}$

Единственное целое значение $k$ в этом промежутке - это $k=2$.

При $k=2$, $x = \frac{7}{24} + 2 = \frac{7 + 48}{24} = \frac{55}{24}$.

2) $\pi x - \frac{\pi}{8} = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$\pi x - \frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{6} + \pi n$

$\pi x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{8} + \pi n$

$\pi x = \frac{-4\pi + 3\pi}{24} + \pi n$

$\pi x = -\frac{\pi}{24} + \pi n$

$x = -\frac{1}{24} + n$

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $\left(\frac{3}{2}; 3\right]$.

$1.5 < -\frac{1}{24} + n \le 3$

$1.5 + \frac{1}{24} < n \le 3 + \frac{1}{24}$

$\frac{3}{2} + \frac{1}{24} < n \le 3 + \frac{1}{24}$

$\frac{36}{24} + \frac{1}{24} < n \le \frac{72}{24} + \frac{1}{24}$

$\frac{37}{24} < n \le \frac{73}{24}$

$1\frac{13}{24} < n \le 3\frac{1}{24}$

Целые значения $n$ в этом промежутке - это $n=2$ и $n=3$.

При $n=2$, $x = -\frac{1}{24} + 2 = \frac{-1 + 48}{24} = \frac{47}{24}$.

При $n=3$, $x = -\frac{1}{24} + 3 = \frac{-1 + 72}{24} = \frac{71}{24}$.

Объединяя все найденные корни, получаем решения на заданном интервале.

Ответ: $\frac{47}{24}; \frac{55}{24}; \frac{71}{24}$.

б) Решим уравнение $3 \cos 2x - 5 \cos x = 1$ и найдем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

$3(2\cos^2 x - 1) - 5 \cos x = 1$

$6\cos^2 x - 3 - 5 \cos x - 1 = 0$

$6\cos^2 x - 5 \cos x - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

$6t^2 - 5t - 4 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Корень $t_1 = \frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$, так как $\frac{4}{3} > 1$.

Возвращаемся к исходной переменной с корнем $t_2 = -\frac{1}{2}$:

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения:

$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.

1) Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.

При $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$, что больше $2\pi$.

2) Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$, что меньше $0$.

При $k=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.

При $k=2$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$, что больше $2\pi$.

Таким образом, на отрезке $[0; 2\pi]$ есть два корня.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}$.