Номер 10.51, страница 283 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.51, страница 283.

Условие.

10.51 a) $x^4+x^3+x^2-3x=0$, $[-2; 0];$

б) $x^4+x^3+x^2-14x=0$, $[3; 7].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим уравнение $x^4 + x^3 + x^2 - 3x = 0$ на отрезке $[-2; 0]$.
Для начала вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^3 + x^2 + x - 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $x = 0$.
2) $x^3 + x^2 + x - 3 = 0$.

Корень $x_1 = 0$ принадлежит заданному отрезку $[-2; 0]$, следовательно, является решением задачи.

Теперь рассмотрим уравнение $x^3 + x^2 + x - 3 = 0$. Введем функцию $f(x) = x^3 + x^2 + x - 3$ и исследуем ее на наличие корней на отрезке $[-2; 0]$. Для этого найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + x^2 + x - 3)' = 3x^2 + 2x + 1$.
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю: $3x^2 + 2x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $3 > 0$, то парабола $y = 3x^2 + 2x + 1$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $f'(x) > 0$ при всех действительных значениях $x$.
Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси, включая отрезок $[-2; 0]$.

Так как функция монотонна, найдем ее значения на концах отрезка $[-2; 0]$:
$f(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) - 3 = -8 + 4 - 2 - 3 = -9$.
$f(0) = 0^3 + 0^2 + 0 - 3 = -3$.
Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает на отрезке $[-2; 0]$, ее значения на этом отрезке изменяются от -9 до -3. Таким образом, $f(x) < 0$ на отрезке $[-2; 0]$, и уравнение $f(x) = 0$ не имеет корней на данном отрезке.

Следовательно, единственным решением исходного уравнения на отрезке $[-2; 0]$ является $x = 0$.
Ответ: 0.

б)

Рассмотрим уравнение $x^4 + x^3 + x^2 - 14x = 0$ на отрезке $[3; 7]$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^3 + x^2 + x - 14) = 0$
Отсюда получаем два случая:
1) $x = 0$.
2) $x^3 + x^2 + x - 14 = 0$.

Корень $x_1 = 0$ не принадлежит заданному отрезку $[3; 7]$.

Рассмотрим уравнение $x^3 + x^2 + x - 14 = 0$. Введем функцию $g(x) = x^3 + x^2 + x - 14$ и исследуем ее на наличие корней на отрезке $[3; 7]$. Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (x^3 + x^2 + x - 14)' = 3x^2 + 2x + 1$.
Как и в пункте а), производная $g'(x) > 0$ при всех действительных значениях $x$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси, в том числе и на отрезке $[3; 7]$.

Найдем значение функции $g(x)$ на левой границе отрезка, в точке $x = 3$:
$g(3) = 3^3 + 3^2 + 3 - 14 = 27 + 9 + 3 - 14 = 39 - 14 = 25$.
Поскольку функция $g(x)$ строго возрастает на отрезке $[3; 7]$ и ее наименьшее значение на этом отрезке равно $g(3) = 25$, то для всех $x \in [3; 7]$ выполняется неравенство $g(x) \geq 25$.
Это означает, что $g(x)$ никогда не обращается в ноль на данном отрезке.

Таким образом, исходное уравнение не имеет корней на отрезке $[3; 7]$.
Ответ: корней нет.