Номер 11.5, страница 284 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.5, страница 284.

Условие.

11.5 Объясните, в результате какого преобразования из первого неравенства получено второе:

а) $sin x > cos x, sin^2 x > cos^2 x;$

б) $x^4 > 5, x > \sqrt[4]{5};$

в) $\log_3 tg x > \log_3 \sqrt{3}, tg x > \sqrt{3};$

г) $\log_{0.2} (x^2 + 3) > \log_{0.2} 4x, x^2 + 3 < 4x;$

д) $sin x + \sqrt{x} > sin 2x + \sqrt{x}, sin x > sin 2x;$

е) $\frac{x^2 - 5x}{\lg x} > \frac{-6}{\lg x}, x^2 - 5x > -6;$

ж) $\frac{x^2 - 5x}{\lg x} > \frac{-6}{\lg x}, x^2 - 5x < -6;$

з) $\log_2 x + \log_2 (x + 1) > 1, \log_2 (x^2 + x) > 1;$

и) $\sqrt{x} \sqrt{x + 1} < \sqrt{2}, \sqrt{x^2 + x} < \sqrt{2}.$

В каждом случае выясните, на каком множестве равносильны первое и второе неравенства.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $sin x > cos x, sin^2 x > cos^2 x$

Второе неравенство $sin^2 x > cos^2 x$ получено из первого $sin x > cos x$ путем возведения обеих частей в квадрат. Возведение в квадрат обеих частей неравенства $a > b$ является равносильным преобразованием (то есть приводит к верному неравенству $a^2 > b^2$) тогда и только тогда, когда сумма $a+b$ имеет тот же знак, что и разность $a-b$. В нашем случае неравенство $sin x > cos x$ означает, что разность $sin x - cos x$ положительна. Следовательно, для равносильности необходимо, чтобы сумма $sin x + cos x$ также была положительна.

Неравенство $sin^2 x > cos^2 x$ равносильно $sin^2 x - cos^2 x > 0$, или $(sin x - cos x)(sin x + cos x) > 0$. Так как по условию первого неравенства $sin x - cos x > 0$, то равносильность двух неравенств будет соблюдаться на множестве, где $sin x + cos x > 0$.

Решим неравенство $sin x + cos x > 0$:

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}cos x) > 0 $

$ \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0 $

$ sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0 $

Это выполняется, когда $2\pi k < x + \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда, $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Преобразование — возведение обеих частей неравенства в квадрат. Неравенства равносильны на множестве $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

б) $x^4 > 5, x > \sqrt[4]{5}$

Второе неравенство $x > \sqrt[4]{5}$ получено из первого $x^4 > 5$ путем извлечения корня четвертой степени из обеих частей. Это преобразование не является равносильным в общем случае, так как функция $y=x^4$ не является монотонной на всей числовой оси. Преобразование было бы равносильным, если бы мы искали решения на множестве $x \ge 0$.

Чтобы найти множество, на котором неравенства равносильны, нужно найти все значения $x$, для которых утверждения $x^4 > 5$ и $x > \sqrt[4]{5}$ имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны).

1. Оба неравенства истинны. Решение $x^4 > 5$ это $x \in (-\infty; -\sqrt[4]{5}) \cup (\sqrt[4]{5}; +\infty)$. Решение $x > \sqrt[4]{5}$ это $x \in (\sqrt[4]{5}; +\infty)$. Пересечение этих множеств: $x \in (\sqrt[4]{5}; +\infty)$.

2. Оба неравенства ложны. Утверждение $x^4 > 5$ ложно, когда $x^4 \le 5$, то есть $x \in [-\sqrt[4]{5}; \sqrt[4]{5}]$. Утверждение $x > \sqrt[4]{5}$ ложно, когда $x \le \sqrt[4]{5}$. Пересечение этих множеств: $x \in [-\sqrt[4]{5}; \sqrt[4]{5}]$.

Объединяя оба случая, получаем множество, на котором неравенства равносильны: $[-\sqrt[4]{5}; \sqrt[4]{5}] \cup (\sqrt[4]{5}; +\infty)$, что равно $x \ge -\sqrt[4]{5}$.

Ответ: Преобразование — извлечение корня четвертой степени из обеих частей, что сужает множество решений. Неравенства равносильны на множестве $x \in [-\sqrt[4]{5}; +\infty)$.

в) $\log_3 \tg x > \log_3 \sqrt{3}, \tg x > \sqrt{3}$

Второе неравенство получено из первого путем потенцирования. Так как логарифмическая функция с основанием $a=3 > 1$ является строго возрастающей, то из неравенства $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ следует $f(x) > g(x)$ на области определения исходного неравенства.

Область определения неравенства $\log_3 \tg x > \log_3 \sqrt{3}$ задается условием $\tg x > 0$ (так как под вторым логарифмом стоит $\sqrt{3} > 0$). Любое решение второго неравенства $\tg x > \sqrt{3}$ удовлетворяет условию $\tg x > 0$. Следовательно, преобразование является равносильным, и неравенства равносильны на всей области определения первого неравенства.

$\tg x > 0$ при $x \in (k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Преобразование — потенцирование по основанию 3. Неравенства равносильны на области определения первого неравенства, то есть на множестве $x \in (k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

г) $\log_{0,2} (x^2 + 3) > \log_{0,2} 4x, x^2 + 3 < 4x$

Второе неравенство получено из первого путем потенцирования. Так как логарифмическая функция с основанием $a=0,2$, где $0 < a < 1$, является строго убывающей, то из неравенства $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ следует $f(x) < g(x)$ на области определения исходного неравенства.

Область определения первого неравенства задается системой условий: $x^2+3 > 0$ (верно для всех $x \in \mathbb{R}$) и $4x > 0$, что дает $x > 0$. На этом множестве данное преобразование является равносильным.

Ответ: Преобразование — потенцирование по основанию 0,2 с изменением знака неравенства на противоположный. Неравенства равносильны на области определения первого неравенства, то есть на множестве $x \in (0; +\infty)$.

д) $\sin x + \sqrt{x} > \sin 2x + \sqrt{x}, \sin x > \sin 2x$

Второе неравенство получено из первого путем вычитания из обеих частей слагаемого $\sqrt{x}$. Это преобразование является равносильным на множестве тех $x$, для которых выражение $\sqrt{x}$ определено.

Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Следовательно, это и есть множество, на котором данные неравенства равносильны.

Ответ: Преобразование — вычитание слагаемого $\sqrt{x}$ из обеих частей. Неравенства равносильны на области определения первого неравенства, то есть на множестве $x \in [0; +\infty)$.

e) $\frac{x^2 - 5x}{\lg x} > \frac{-6}{\lg x}, x^2 - 5x > -6$

Второе неравенство получено из первого путем умножения обеих частей на $\lg x$. При умножении неравенства на некоторое выражение знак неравенства сохраняется, если это выражение положительно.

Неравенство $\lg x > 0$ выполняется при $x > 1$. Область определения исходного неравенства: $x>0$ и $x \ne 1$. Таким образом, преобразование, сохраняющее знак, было выполнено в предположении, что $x>1$. На этом множестве неравенства равносильны.

Ответ: Преобразование — умножение на $\lg x$ при условии $\lg x > 0$. Неравенства равносильны на множестве $x \in (1; +\infty)$.

ж) $\frac{x^2 - 5x}{\lg x} > \frac{-6}{\lg x}, x^2 - 5x < -6$

Второе неравенство получено из первого путем умножения обеих частей на $\lg x$. При умножении неравенства на некоторое выражение знак неравенства меняется на противоположный, если это выражение отрицательно.

Неравенство $\lg x < 0$ выполняется при $0 < x < 1$. На этом множестве данное преобразование является равносильным.

Ответ: Преобразование — умножение на $\lg x$ при условии $\lg x < 0$. Неравенства равносильны на множестве $x \in (0; 1)$.

з) $\log_2 x + \log_2 (x + 1) > 1, \log_2(x^2 + x) > 1$

Второе неравенство получено из первого с использованием свойства логарифмов $\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$. Это преобразование является равносильным тогда и только тогда, когда оба выражения под знаком логарифма в левой части положительны, то есть $M>0$ и $N>0$.

В данном случае $M=x, N=x+1$. Условия равносильности: $x>0$ и $x+1>0$. Решением этой системы является $x>0$. Это множество и является областью определения первого неравенства и множеством, на котором неравенства равносильны.

Ответ: Преобразование — применение свойства суммы логарифмов. Неравенства равносильны на общей области определения слагаемых $\log_2 x$ и $\log_2 (x+1)$, то есть на множестве $x \in (0; +\infty)$.

и) $\sqrt{x} \sqrt{x+1} < \sqrt{2}, \sqrt{x^2+x} < \sqrt{2}$

Второе неравенство получено из первого с использованием свойства произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Это преобразование является равносильным тогда и только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

В данном случае $a=x, b=x+1$. Условия равносильности: $x \ge 0$ и $x+1 \ge 0$. Решением этой системы является $x \ge 0$. Это множество является областью определения первого неравенства и множеством, на котором неравенства равносильны.

Ответ: Преобразование — применение свойства произведения квадратных корней. Неравенства равносильны на общей области определения множителей $\sqrt{x}$ и $\sqrt{x+1}$, то есть на множестве $x \in [0; +\infty)$.