Номер 10.53, страница 283 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.53, страница 283.

Условие.

10.53* a) $3 \operatorname{tg}^2 \left(\pi x - \frac{\pi}{8}\right) = 1, \left(\frac{3}{2}; 3\right]$

б) $3 \cos 2x - 5 \cos x = 1, [0; 2\pi]$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим уравнение $3 \operatorname{tg}^2\left(\pi x - \frac{\pi}{8}\right) = 1$ и найдем корни, принадлежащие интервалу $\left(\frac{3}{2}; 3\right]$.

Сначала преобразуем уравнение:

$\operatorname{tg}^2\left(\pi x - \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{3}$

Это уравнение распадается на два:

1) $\operatorname{tg}\left(\pi x - \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

2) $\operatorname{tg}\left(\pi x - \frac{\pi}{8}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Решим каждое уравнение отдельно.

1) $\pi x - \frac{\pi}{8} = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\pi x - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{6} + \pi k$

$\pi x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{8} + \pi k$

$\pi x = \frac{4\pi + 3\pi}{24} + \pi k$

$\pi x = \frac{7\pi}{24} + \pi k$

$x = \frac{7}{24} + k$

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $\left(\frac{3}{2}; 3\right]$, то есть $1.5 < x \le 3$.

$1.5 < \frac{7}{24} + k \le 3$

$1.5 - \frac{7}{24} < k \le 3 - \frac{7}{24}$

$\frac{3}{2} - \frac{7}{24} < k \le 3 - \frac{7}{24}$

$\frac{36}{24} - \frac{7}{24} < k \le \frac{72}{24} - \frac{7}{24}$

$\frac{29}{24} < k \le \frac{65}{24}$

$1\frac{5}{24} < k \le 2\frac{17}{24}$

Единственное целое значение $k$ в этом промежутке - это $k=2$.

При $k=2$, $x = \frac{7}{24} + 2 = \frac{7 + 48}{24} = \frac{55}{24}$.

2) $\pi x - \frac{\pi}{8} = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$\pi x - \frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{6} + \pi n$

$\pi x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{8} + \pi n$

$\pi x = \frac{-4\pi + 3\pi}{24} + \pi n$

$\pi x = -\frac{\pi}{24} + \pi n$

$x = -\frac{1}{24} + n$

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $\left(\frac{3}{2}; 3\right]$.

$1.5 < -\frac{1}{24} + n \le 3$

$1.5 + \frac{1}{24} < n \le 3 + \frac{1}{24}$

$\frac{3}{2} + \frac{1}{24} < n \le 3 + \frac{1}{24}$

$\frac{36}{24} + \frac{1}{24} < n \le \frac{72}{24} + \frac{1}{24}$

$\frac{37}{24} < n \le \frac{73}{24}$

$1\frac{13}{24} < n \le 3\frac{1}{24}$

Целые значения $n$ в этом промежутке - это $n=2$ и $n=3$.

При $n=2$, $x = -\frac{1}{24} + 2 = \frac{-1 + 48}{24} = \frac{47}{24}$.

При $n=3$, $x = -\frac{1}{24} + 3 = \frac{-1 + 72}{24} = \frac{71}{24}$.

Объединяя все найденные корни, получаем решения на заданном интервале.

Ответ: $\frac{47}{24}; \frac{55}{24}; \frac{71}{24}$.

б) Решим уравнение $3 \cos 2x - 5 \cos x = 1$ и найдем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

$3(2\cos^2 x - 1) - 5 \cos x = 1$

$6\cos^2 x - 3 - 5 \cos x - 1 = 0$

$6\cos^2 x - 5 \cos x - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

$6t^2 - 5t - 4 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Корень $t_1 = \frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$, так как $\frac{4}{3} > 1$.

Возвращаемся к исходной переменной с корнем $t_2 = -\frac{1}{2}$:

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения:

$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.

1) Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.

При $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$, что больше $2\pi$.

2) Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$, что меньше $0$.

При $k=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.

При $k=2$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$, что больше $2\pi$.

Таким образом, на отрезке $[0; 2\pi]$ есть два корня.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}$.