Номер 10.48, страница 283 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.48, страница 283.

Условие.

Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанно-му промежутку (10.48—10.53):

10.48 а) $ \sin 2x + 2 \sin x - \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}, (0; \pi); $

б) $ \sin 2x - 2 \sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}, \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $sin(2x) + 2sin(x) - \sqrt{3}cos(x) = \sqrt{3}$, $x \in (0; \pi)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:
$2sin(x)cos(x) + 2sin(x) - \sqrt{3}cos(x) - \sqrt{3} = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(2sin(x)cos(x) + 2sin(x)) - (\sqrt{3}cos(x) + \sqrt{3}) = 0$
$2sin(x)(cos(x) + 1) - \sqrt{3}(cos(x) + 1) = 0$
$(2sin(x) - \sqrt{3})(cos(x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2sin(x) - \sqrt{3} = 0 \implies sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение этого уравнения: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни, принадлежащие промежутку $(0; \pi)$.
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку.
При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку.
При других целых значениях $k$ корни не попадают в указанный промежуток.

2) $cos(x) + 1 = 0 \implies cos(x) = -1$.
Общее решение этого уравнения: $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
При $n=0$: $x = \pi$. Этот корень не принадлежит промежутку $(0; \pi)$, так как интервал строгий.
При других целых значениях $n$ корни также не попадают в указанный промежуток.

Таким образом, решениями уравнения, принадлежащими промежутку $(0; \pi)$, являются $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}$.

б) $sin(2x) - 2sin(x) + \sqrt{3}cos(x) = \sqrt{3}$, $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и используем формулу синуса двойного угла:
$2sin(x)cos(x) - 2sin(x) + \sqrt{3}cos(x) - \sqrt{3} = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(2sin(x)cos(x) - 2sin(x)) + (\sqrt{3}cos(x) - \sqrt{3}) = 0$
$2sin(x)(cos(x) - 1) + \sqrt{3}(cos(x) - 1) = 0$
$(2sin(x) + \sqrt{3})(cos(x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $2sin(x) + \sqrt{3} = 0 \implies sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение этого уравнения: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3}$.
При $k=1$: $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень принадлежит промежутку, так как $\frac{4\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}$.
При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку.
При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку.

2) $cos(x) - 1 = 0 \implies cos(x) = 1$.
Общее решение этого уравнения: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
При $n=0$: $x = 0$. Этот корень принадлежит промежутку.
При других целых значениях $n$ корни не попадают в указанный промежуток.

Таким образом, решениями уравнения, принадлежащими промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, являются $-\frac{\pi}{3}$, $0$ и $\frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}; 0; \frac{4\pi}{3}$.