Номер 10.50, страница 283 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.50, страница 283.
№10.50 (с. 283)
Условие. №10.50 (с. 283)
скриншот условия

10.50 a) $|x^2-3x+2|=2x-2, [3; 5];$
б) $|x^2-2x-8|=x+2, [0; 4].$
Решение 1. №10.50 (с. 283)

Решение 2. №10.50 (с. 283)

Решение 3. №10.50 (с. 283)

Решение 4. №10.50 (с. 283)
a)
Решим уравнение $|x^2 - 3x + 2| = 2x - 2$ на отрезке $[3; 5]$.
Уравнение вида $|A| = B$ требует, чтобы правая часть была неотрицательна, то есть $B \ge 0$.
1. Проверим условие $2x - 2 \ge 0$.
$2x \ge 2 \implies x \ge 1$.
Заданный отрезок $[3; 5]$ полностью удовлетворяет этому условию, так как для любого $x \in [3; 5]$ выполняется неравенство $x \ge 1$.
2. Определим знак выражения под модулем $x^2 - 3x + 2$ на отрезке $[3; 5]$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ при $x \in (-\infty; 1] \cup [2; \infty)$.
Поскольку отрезок $[3; 5]$ целиком входит в промежуток $[2; \infty)$, то для всех $x \in [3; 5]$ выражение под модулем неотрицательно. Таким образом, на данном отрезке мы можем раскрыть модуль без изменения знака:
$|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2$
3. Решим получившееся уравнение.
$x^2 - 3x + 2 = 2x - 2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные корни заданному отрезку $[3; 5]$.
Корень $x_1 = 1$ не принадлежит отрезку $[3; 5]$.
Корень $x_2 = 4$ принадлежит отрезку $[3; 5]$.
Следовательно, на заданном отрезке уравнение имеет один корень.
Ответ: $4$.
б)
Решим уравнение $|x^2 - 2x - 8| = x + 2$ на отрезке $[0; 4]$.
Уравнение вида $|A| = B$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подмодульное выражение равно правой части или противоположно ей:
$ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 2x - 8 &= x + 2 \\ x^2 - 2x - 8 &= -(x + 2) \end{aligned} \right. \end{cases} $
1. Условие $x + 2 \ge 0$ дает $x \ge -2$. Заданный отрезок $[0; 4]$ полностью удовлетворяет этому условию.
2. Решим два уравнения из совокупности.
Первое уравнение:
$x^2 - 2x - 8 = x + 2$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Используя формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{9 - 4(-10)}}{2} = \frac{3+7}{2}=5$ и $x_2 = \frac{3-7}{2}=-2$.
Второе уравнение:
$x^2 - 2x - 8 = -(x + 2)$
$x^2 - 2x - 8 = -x - 2$
$x^2 - x - 6 = 0$
Находим корни: $x_3 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4(-6)}}{2} = \frac{1+5}{2}=3$ и $x_4 = \frac{1-5}{2}=-2$.
3. Отберем корни, принадлежащие заданному отрезку $[0; 4]$.
Из найденных корней $5, -2, 3$ только корень $x=3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$.
Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение: $|3^2 - 2 \cdot 3 - 8| = |9-6-8| = |-5| = 5$. Правая часть: $3+2=5$. Равенство $5=5$ верно.
Ответ: $3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.50 расположенного на странице 283 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.50 (с. 283), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.