Номер 10.50, страница 283 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.50, страница 283.

Условие.

10.50 a) $|x^2-3x+2|=2x-2, [3; 5];$

б) $|x^2-2x-8|=x+2, [0; 4].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Решим уравнение $|x^2 - 3x + 2| = 2x - 2$ на отрезке $[3; 5]$.

Уравнение вида $|A| = B$ требует, чтобы правая часть была неотрицательна, то есть $B \ge 0$.

1. Проверим условие $2x - 2 \ge 0$.

$2x \ge 2 \implies x \ge 1$.

Заданный отрезок $[3; 5]$ полностью удовлетворяет этому условию, так как для любого $x \in [3; 5]$ выполняется неравенство $x \ge 1$.

2. Определим знак выражения под модулем $x^2 - 3x + 2$ на отрезке $[3; 5]$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ при $x \in (-\infty; 1] \cup [2; \infty)$.

Поскольку отрезок $[3; 5]$ целиком входит в промежуток $[2; \infty)$, то для всех $x \in [3; 5]$ выражение под модулем неотрицательно. Таким образом, на данном отрезке мы можем раскрыть модуль без изменения знака:

$|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2$

3. Решим получившееся уравнение.

$x^2 - 3x + 2 = 2x - 2$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

4. Проверим, принадлежат ли найденные корни заданному отрезку $[3; 5]$.

Корень $x_1 = 1$ не принадлежит отрезку $[3; 5]$.

Корень $x_2 = 4$ принадлежит отрезку $[3; 5]$.

Следовательно, на заданном отрезке уравнение имеет один корень.

Ответ: $4$.

б)

Решим уравнение $|x^2 - 2x - 8| = x + 2$ на отрезке $[0; 4]$.

Уравнение вида $|A| = B$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подмодульное выражение равно правой части или противоположно ей:

$ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 2x - 8 &= x + 2 \\ x^2 - 2x - 8 &= -(x + 2) \end{aligned} \right. \end{cases} $

1. Условие $x + 2 \ge 0$ дает $x \ge -2$. Заданный отрезок $[0; 4]$ полностью удовлетворяет этому условию.

2. Решим два уравнения из совокупности.

Первое уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = x + 2$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Используя формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{9 - 4(-10)}}{2} = \frac{3+7}{2}=5$ и $x_2 = \frac{3-7}{2}=-2$.

Второе уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = -(x + 2)$

$x^2 - 2x - 8 = -x - 2$

$x^2 - x - 6 = 0$

Находим корни: $x_3 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4(-6)}}{2} = \frac{1+5}{2}=3$ и $x_4 = \frac{1-5}{2}=-2$.

3. Отберем корни, принадлежащие заданному отрезку $[0; 4]$.

Из найденных корней $5, -2, 3$ только корень $x=3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$.

Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение: $|3^2 - 2 \cdot 3 - 8| = |9-6-8| = |-5| = 5$. Правая часть: $3+2=5$. Равенство $5=5$ верно.

Ответ: $3$.