Номер 10.52, страница 283 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.52, страница 283.

Условие.

10.52 a) $(x - \log_3 75)(x - \log_2 22) = 0, [3; 4];$

б) $(x - \log_2 17)(x - \log_2 71) = 0, [4; 5].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим уравнение $(x - \log_{3}{75})(x - \log_{2}{22}) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому уравнение распадается на два:
1) $x - \log_{3}{75} = 0 \implies x_1 = \log_{3}{75}$
2) $x - \log_{2}{22} = 0 \implies x_2 = \log_{2}{22}$

Теперь определим, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[3; 4]$.

Проверим корень $x_1 = \log_{3}{75}$. Для этого сравним его с границами отрезка $3$ и $4$.
Представим числа $3$ и $4$ в виде логарифмов по основанию 3:
$3 = \log_{3}{3^3} = \log_{3}{27}$
$4 = \log_{3}{3^4} = \log_{3}{81}$
Сравним числа $27$, $75$ и $81$. Очевидно, что $27 < 75 < 81$.
Так как логарифмическая функция с основанием $3$ (больше 1) является возрастающей, то из неравенства $27 < 75 < 81$ следует:
$\log_{3}{27} < \log_{3}{75} < \log_{3}{81}$
$3 < \log_{3}{75} < 4$
Значит, корень $x_1 = \log_{3}{75}$ принадлежит отрезку $[3; 4]$.

Проверим корень $x_2 = \log_{2}{22}$. Сравним его с границами отрезка $3$ и $4$.
Представим числа $3$ и $4$ в виде логарифмов по основанию 2:
$3 = \log_{2}{2^3} = \log_{2}{8}$
$4 = \log_{2}{2^4} = \log_{2}{16}$
Сравним числа $16$ и $22$. Очевидно, что $22 > 16$.
Так как логарифмическая функция с основанием $2$ (больше 1) является возрастающей, то из неравенства $22 > 16$ следует:
$\log_{2}{22} > \log_{2}{16}$
$\log_{2}{22} > 4$
Значит, корень $x_2 = \log_{2}{22}$ не принадлежит отрезку $[3; 4]$.

Таким образом, заданному отрезку принадлежит только один корень.

Ответ: $\log_{3}{75}$

б) Решим уравнение $(x - \log_{2}{17})(x - \log_{2}{71}) = 0$.
Это уравнение также распадается на два:
1) $x - \log_{2}{17} = 0 \implies x_1 = \log_{2}{17}$
2) $x - \log_{2}{71} = 0 \implies x_2 = \log_{2}{71}$

Определим, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[4; 5]$.

Проверим корень $x_1 = \log_{2}{17}$. Сравним его с границами отрезка $4$ и $5$.
Представим числа $4$ и $5$ в виде логарифмов по основанию 2:
$4 = \log_{2}{2^4} = \log_{2}{16}$
$5 = \log_{2}{2^5} = \log_{2}{32}$
Сравним числа $16$, $17$ и $32$. Очевидно, что $16 < 17 < 32$.
Так как логарифмическая функция с основанием $2$ (больше 1) является возрастающей, то из неравенства $16 < 17 < 32$ следует:
$\log_{2}{16} < \log_{2}{17} < \log_{2}{32}$
$4 < \log_{2}{17} < 5$
Значит, корень $x_1 = \log_{2}{17}$ принадлежит отрезку $[4; 5]$.

Проверим корень $x_2 = \log_{2}{71}$. Сравним его с границами отрезка $4$ и $5$.
Мы уже знаем, что $5 = \log_{2}{32}$.
Сравним числа $32$ и $71$. Очевидно, что $71 > 32$.
Так как логарифмическая функция с основанием $2$ (больше 1) является возрастающей, то из неравенства $71 > 32$ следует:
$\log_{2}{71} > \log_{2}{32}$
$\log_{2}{71} > 5$
Значит, корень $x_2 = \log_{2}{71}$ не принадлежит отрезку $[4; 5]$.

Таким образом, заданному отрезку принадлежит только один корень.

Ответ: $\log_{2}{17}$