Номер 11.8, страница 288 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.8, страница 288.

Условие.

11.8 a) $\sqrt{x+1} < x-1;$

б) $\sqrt{x+4} < x+2;$

в) $\sqrt{x+1} < x+1;$

г) $\sqrt{x+4} < x-2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Решим неравенство $\sqrt{x+1} < x-1$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств, так как обе части неравенства должны быть неотрицательны для возведения в квадрат:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x-1 > 0 & \text{(правая часть больше левой, которая неотрицательна)} \\ (\sqrt{x+1})^2 < (x-1)^2 & \text{(возводим в квадрат обе части)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

2. $x-1 > 0 \implies x > 1$.

3. $x+1 < (x-1)^2 \implies x+1 < x^2 - 2x + 1 \implies 0 < x^2 - 3x \implies x(x-3) > 0$.

Решением квадратного неравенства $x(x-3) > 0$ являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Из первых двух следует, что $x > 1$. Совместим это с решением третьего неравенства:

$x \in (1, \infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty))$.

Общим решением является интервал $(3, \infty)$.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.

б)

Решим неравенство $\sqrt{x+4} < x+2$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x+2 > 0 \\ x+4 < (x+2)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

2. $x+2 > 0 \implies x > -2$.

3. $x+4 < (x+2)^2 \implies x+4 < x^2 + 4x + 4 \implies 0 < x^2 + 3x \implies x(x+3) > 0$.

Решением квадратного неравенства $x(x+3) > 0$ являются интервалы $x \in (-\infty, -3) \cup (0, \infty)$.

Найдем пересечение решений. Из первых двух неравенств следует, что $x > -2$. Совместим это с решением третьего неравенства:

$x \in (-2, \infty) \cap ((-\infty, -3) \cup (0, \infty))$.

Общим решением является интервал $(0, \infty)$.

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

в)

Решим неравенство $\sqrt{x+1} < x+1$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x+1 > 0 \\ x+1 < (x+1)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x+1 > 0 \implies x > -1$. (Это условие более строгое, чем $x+1 \ge 0$, поэтому используем его).

2. $x+1 < (x+1)^2$. Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

$(x+1)^2 - (x+1) > 0$

$(x+1)((x+1) - 1) > 0$

$(x+1)x > 0$.

Решением этого неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x > -1$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

$x \in (-1, \infty) \cap ((-\infty, -1) \cup (0, \infty))$.

Общим решением является интервал $(0, \infty)$.

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

г)

Решим неравенство $\sqrt{x+4} < x-2$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x-2 > 0 \\ x+4 < (x-2)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

2. $x-2 > 0 \implies x > 2$.

3. $x+4 < (x-2)^2 \implies x+4 < x^2 - 4x + 4 \implies 0 < x^2 - 5x \implies x(x-5) > 0$.

Решением квадратного неравенства $x(x-5) > 0$ являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (5, \infty)$.

Найдем пересечение решений. Из первых двух неравенств следует, что $x > 2$. Совместим это с решением третьего неравенства:

$x \in (2, \infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (5, \infty))$.

Общим решением является интервал $(5, \infty)$.

Ответ: $x \in (5, \infty)$.