Номер 11.13, страница 288 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.13, страница 288.

Условие.

11.13 а) $|3x + 2| > |2x + 3|;$

В) $|\frac{3}{4}x - 2| > |2x - \frac{3}{4}|;$

б) $|3x - 4| < |x - 4|;$

Г) $|5x - 3| > |x - 3|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Решим неравенство $|3x+2| > |2x+3|$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(3x+2)^2 > (2x+3)^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$(3x+2)^2 - (2x+3)^2 > 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((3x+2) - (2x+3))((3x+2) + (2x+3)) > 0$

$(3x+2-2x-3)(3x+2+2x+3) > 0$

$(x-1)(5x+5) > 0$

$5(x-1)(x+1) > 0$

Разделив обе части на 5, получим:

$(x-1)(x+1) > 0$

Решим полученное квадратное неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1=1$ и $x_2=-1$. Парабола $y=(x-1)(x+1)$ ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

б)

Решим неравенство $|3x-4| < |x-4|$.

Возведем обе части в квадрат:

$(3x-4)^2 < (x-4)^2$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов:

$(3x-4)^2 - (x-4)^2 < 0$

$((3x-4) - (x-4))((3x-4) + (x-4)) < 0$

$(3x-4-x+4)(3x-4+x-4) < 0$

$(2x)(4x-8) < 0$

$8x(x-2) < 0$

Разделив на 8, получим:

$x(x-2) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1=0$ и $x_2=2$. Парабола $y=x(x-2)$ ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (0, 2)$.

в)

Решим неравенство $|\frac{3}{4}x-2| > |2x-\frac{3}{4}|$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\frac{3}{4}x-2)^2 > (2x-\frac{3}{4})^2$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов:

$(\frac{3}{4}x-2)^2 - (2x-\frac{3}{4})^2 > 0$

$((\frac{3}{4}x-2) - (2x-\frac{3}{4}))((\frac{3}{4}x-2) + (2x-\frac{3}{4})) > 0$

$(\frac{3}{4}x-2-2x+\frac{3}{4})(\frac{3}{4}x-2+2x-\frac{3}{4}) > 0$

$(\frac{3-8}{4}x - \frac{8-3}{4})(\frac{3+8}{4}x - \frac{8+3}{4}) > 0$

$(-\frac{5}{4}x - \frac{5}{4})(\frac{11}{4}x - \frac{11}{4}) > 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$-\frac{5}{4}(x+1) \cdot \frac{11}{4}(x-1) > 0$

$-\frac{55}{16}(x+1)(x-1) > 0$

Умножим обе части на отрицательное число $-\frac{16}{55}$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x+1)(x-1) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1=-1$ и $x_2=1$. Парабола $y=(x+1)(x-1)$ ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

г)

Решим неравенство $|5x-3| > |x-3|$.

Возведем обе части в квадрат:

$(5x-3)^2 > (x-3)^2$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов:

$(5x-3)^2 - (x-3)^2 > 0$

$((5x-3) - (x-3))((5x-3) + (x-3)) > 0$

$(5x-3-x+3)(5x-3+x-3) > 0$

$(4x)(6x-6) > 0$

$24x(x-1) > 0$

Разделив на 24, получим:

$x(x-1) > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1=0$ и $x_2=1$. Парабола $y=x(x-1)$ ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.