Номер 11.11, страница 288 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.11, страница 288.

Условие.

11.11 а) $\sqrt{6x + 7} > x + 2$;

б) $\sqrt{5x + 6} > x + 2$;

В) $\sqrt{6x - 2} > x + 1$;

Г) $\sqrt{5x - 1} > x + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\sqrt{6x+7} > x+2$.
Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности (объединению решений) двух систем:
1) Случай, когда правая часть отрицательна. Неравенство будет верным для всех $x$ из области определения подкоренного выражения.
$\left\{ \begin{array}{l} x+2 < 0 \\ 6x+7 \ge 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} x < -2 \\ x \ge -7/6 \end{array} \right.$
Эта система не имеет решений, так как интервалы $x < -2$ и $x \ge -1.1(6)$ не пересекаются.

2) Случай, когда правая часть неотрицательна. Можно возвести обе части в квадрат.
$\left\{ \begin{array}{l} x+2 \ge 0 \\ 6x+7 > (x+2)^2 \end{array} \right.$
Из первого неравенства получаем $x \ge -2$.
Решим второе неравенство:
$6x+7 > x^2 + 4x + 4$
$0 > x^2 - 2x - 3$
$x^2 - 2x - 3 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y=x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, решение неравенства $x^2 - 2x - 3 < 0$ есть интервал $(-1, 3)$.
Теперь найдем пересечение решений системы: $x \ge -2$ и $-1 < x < 3$. Пересечением является интервал $(-1, 3)$.

Общее решение неравенства — это объединение решений обеих систем. Так как первая система не имеет решений, итоговый ответ — решение второй системы.
Ответ: $x \in (-1, 3)$.

б) Решим неравенство $\sqrt{5x+6} > x+2$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
1) $\left\{ \begin{array}{l} x+2 < 0 \\ 5x+6 \ge 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} x < -2 \\ x \ge -6/5 \end{array} \right.$
Система не имеет решений, так как $-2 < -1.2$.

2) $\left\{ \begin{array}{l} x+2 \ge 0 \\ 5x+6 > (x+2)^2 \end{array} \right.$
Из первого неравенства: $x \ge -2$.
Решим второе неравенство:
$5x+6 > x^2 + 4x + 4$
$0 > x^2 - x - 2$
$x^2 - x - 2 < 0$
Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-1, 2)$.
Пересекая с условием $x \ge -2$, получаем $x \in (-1, 2)$.

Объединяя решения двух систем, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-1, 2)$.

в) Решим неравенство $\sqrt{6x-2} > x+1$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
1) $\left\{ \begin{array}{l} x+1 < 0 \\ 6x-2 \ge 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} x < -1 \\ x \ge 1/3 \end{array} \right.$
Система не имеет решений.

2) $\left\{ \begin{array}{l} x+1 \ge 0 \\ 6x-2 > (x+1)^2 \end{array} \right.$
Из первого неравенства: $x \ge -1$.
Решим второе неравенство:
$6x-2 > x^2 + 2x + 1$
$0 > x^2 - 4x + 3$
$x^2 - 4x + 3 < 0$
Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Решение квадратного неравенства: $x \in (1, 3)$.
Пересекая с условием $x \ge -1$, получаем $x \in (1, 3)$.

Объединяя решения двух систем, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (1, 3)$.

г) Решим неравенство $\sqrt{5x-1} > x+1$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
1) $\left\{ \begin{array}{l} x+1 < 0 \\ 5x-1 \ge 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} x < -1 \\ x \ge 1/5 \end{array} \right.$
Система не имеет решений.

2) $\left\{ \begin{array}{l} x+1 \ge 0 \\ 5x-1 > (x+1)^2 \end{array} \right.$
Из первого неравенства: $x \ge -1$.
Решим второе неравенство:
$5x-1 > x^2 + 2x + 1$
$0 > x^2 - 3x + 2$
$x^2 - 3x + 2 < 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Решение квадратного неравенства: $x \in (1, 2)$.
Пересекая с условием $x \ge -1$, получаем $x \in (1, 2)$.

Объединяя решения двух систем, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (1, 2)$.