Страница 290 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

11.20 a) $\frac{x^2}{1 - \cos x} < \frac{x + 2}{1 - \cos x}$;

Б) $\frac{x^2}{\cos x - 1} > \frac{-x + 2}{\cos x - 1}$;

В) $\frac{x^2}{1 - \sin x} < \frac{2x + 3}{1 - \sin x}$;

Г) $\frac{x^2}{\sin x - 1} > \frac{x + 2}{\sin x - 1}$.

а)

Исходное неравенство: $\frac{x^2}{1 - \cos x} < \frac{x + 2}{1 - \cos x}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$1 - \cos x \neq 0$
$\cos x \neq 1$
$x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Определим знак знаменателя $1 - \cos x$. Поскольку область значений функции косинус $[-1, 1]$, то $-1 \le \cos x \le 1$. Это означает, что $0 \le 1 - \cos x \le 2$. С учетом ОДЗ, где $1 - \cos x \neq 0$, получаем, что знаменатель всегда строго положителен: $1 - \cos x > 0$.

3. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2}{1 - \cos x} - \frac{x + 2}{1 - \cos x} < 0$
$\frac{x^2 - (x + 2)}{1 - \cos x} < 0$
$\frac{x^2 - x - 2}{1 - \cos x} < 0$.

4. Так как знаменатель $1 - \cos x$ всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$x^2 - x - 2 < 0$.

5. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при $x \in (-1, 2)$.

6. Совместим найденное решение с ОДЗ. Необходимо исключить из интервала $(-1, 2)$ точки вида $x = 2\pi k$. При $k=0$ получаем $x = 0$, эта точка принадлежит интервалу $(-1, 2)$, поэтому ее нужно исключить. При других целых значениях $k$ точки $2\pi k$ не попадают в данный интервал.Таким образом, решение представляет собой объединение двух интервалов: $(-1, 0) \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (0, 2)$.

б)

Исходное неравенство: $\frac{x^2}{\cos x - 1} > \frac{-x + 2}{\cos x - 1}$.

1. ОДЗ: $\cos x - 1 \neq 0 \Rightarrow \cos x \neq 1 \Rightarrow x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Определим знак знаменателя $\cos x - 1$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-2 \le \cos x - 1 \le 0$. С учетом ОДЗ, знаменатель всегда строго отрицателен: $\cos x - 1 < 0$.

3. Перенесем все в левую часть:
$\frac{x^2 - (-x + 2)}{\cos x - 1} > 0$
$\frac{x^2 + x - 2}{\cos x - 1} > 0$.

4. Так как знаменатель отрицателен, для того чтобы вся дробь была положительной, числитель также должен быть отрицательным:
$x^2 + x - 2 < 0$.

5. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Парабола $y = x^2 + x - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому отрицательные значения находятся между корнями: $x \in (-2, 1)$.

6. Совместим решение с ОДЗ. Из интервала $(-2, 1)$ нужно исключить точки $x = 2\pi k$. При $k=0$ имеем $x=0$, эта точка лежит в интервале и должна быть исключена. Другие целые $k$ дают точки вне интервала $(-2, 1)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (0, 1)$.

в)

Исходное неравенство: $\frac{x^2}{1 - \sin x} < \frac{2x + 3}{1 - \sin x}$.

1. ОДЗ: $1 - \sin x \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Определим знак знаменателя $1 - \sin x$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $0 \le 1 - \sin x \le 2$. С учетом ОДЗ, знаменатель всегда строго положителен: $1 - \sin x > 0$.

3. Поскольку знаменатель положителен, неравенство равносильно неравенству для числителей:
$x^2 < 2x + 3$
$x^2 - 2x - 3 < 0$.

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Парабола направлена ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1, 3)$.

5. Совместим решение с ОДЗ. Нужно исключить из интервала $(-1, 3)$ точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. При $k=0$ имеем $x = \frac{\pi}{2}$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $x \approx 1.57$. Эта точка лежит в интервале $(-1, 3)$ и должна быть исключена. При других целых $k$ точки лежат вне этого интервала.

Ответ: $x \in (-1, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 3)$.

г)

Исходное неравенство: $\frac{x^2}{\sin x - 1} > \frac{x + 2}{\sin x - 1}$.

1. ОДЗ: $\sin x - 1 \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Определим знак знаменателя $\sin x - 1$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-2 \le \sin x - 1 \le 0$. С учетом ОДЗ, знаменатель всегда строго отрицателен: $\sin x - 1 < 0$.

3. Перенесем все в левую часть:
$\frac{x^2 - (x + 2)}{\sin x - 1} > 0$
$\frac{x^2 - x - 2}{\sin x - 1} > 0$.

4. Так как знаменатель отрицателен, для выполнения неравенства числитель также должен быть отрицательным:
$x^2 - x - 2 < 0$.

5. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Решение неравенства: $x \in (-1, 2)$.

6. Совместим решение с ОДЗ. Из интервала $(-1, 2)$ нужно исключить точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. При $k=0$ имеем $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Эта точка лежит в интервале $(-1, 2)$, и ее нужно исключить. Другие целые $k$ дают точки за пределами этого интервала.

Ответ: $x \in (-1, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 2)$.

11.21 a) $\frac{2|x-3|}{|x-5|} < \frac{|x-5|}{|x-3|}$

б) $\frac{2|x+1|}{|x+3|+|x-1|} < \frac{|x+3|-|x-1|}{|x+1|}$

В) $\frac{2|x+2|}{|x+3|} < \frac{|x+3|}{|x+2|}$

Г) $\frac{2|x+5|}{|x+3|+|x+7|} < \frac{|x+3|-|x+7|}{|x+5|}$

а)

Исходное неравенство: $ \frac{2|x-3|}{|x-5|} < \frac{|x-5|}{|x-3|} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, то есть $|x-5| \neq 0$ и $|x-3| \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 5$ и $x \neq 3$.

Сделаем замену. Пусть $a = |x-3|$ и $b = |x-5|$. Так как это модули выражений, которые не равны нулю на ОДЗ, то $a > 0$ и $b > 0$. Неравенство принимает вид:

$ \frac{2a}{b} < \frac{b}{a} $

Так как $a$ и $b$ положительны, мы можем умножить обе части неравенства на $ab > 0$, не меняя знака неравенства:

$2a^2 < b^2$

$2a^2 - b^2 < 0$

$(\sqrt{2}a - b)(\sqrt{2}a + b) < 0$

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, множитель $(\sqrt{2}a + b)$ всегда положителен. Следовательно, для выполнения неравенства, второй множитель должен быть отрицателен:

$\sqrt{2}a - b < 0 \implies \sqrt{2}a < b$

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2}|x-3| < |x-5|$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$2(x-3)^2 < (x-5)^2$

$2(x^2 - 6x + 9) < x^2 - 10x + 25$

$2x^2 - 12x + 18 < x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 2x - 7 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}$

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 7$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 7 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$.

Теперь учтем ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq 5$. Приближенные значения корней: $1 - 2\sqrt{2} \approx -1.83$ и $1 + 2\sqrt{2} \approx 3.83$. Точка $x=3$ находится внутри этого интервала, поэтому ее нужно исключить. Точка $x=5$ не входит в интервал.

Ответ: $x \in (1 - 2\sqrt{2}, 3) \cup (3, 1 + 2\sqrt{2})$.

б)

Исходное неравенство: $ \frac{2|x+1|}{|x+3|+|x-1|} < \frac{|x+3|-|x-1|}{|x+1|} $.

ОДЗ: $|x+1| \neq 0 \implies x \neq -1$. Знаменатель $|x+3|+|x-1|$ не равен нулю ни при каких $x$, так как является суммой двух неотрицательных чисел, которые не могут одновременно быть нулем.

Левая часть неравенства всегда неотрицательна (или равна нулю, если $x=-1$, что исключено ОДЗ). Чтобы неравенство имело решение, правая часть должна быть строго положительной:

$\frac{|x+3|-|x-1|}{|x+1|} > 0$

Так как знаменатель $|x+1| > 0$ на ОДЗ, то числитель также должен быть положителен: $|x+3| - |x-1| > 0 \implies |x+3| > |x-1|$.

Возведем в квадрат: $(x+3)^2 > (x-1)^2 \implies x^2+6x+9 > x^2-2x+1 \implies 8x > -8 \implies x > -1$.

Таким образом, мы ищем решения только при условии $x > -1$.

Умножим обе части исходного неравенства на $|x+1| \cdot (|x+3|+|x-1|)$, что является положительным выражением при $x > -1$.

$2|x+1|^2 < (|x+3|-|x-1|)(|x+3|+|x-1|)$

$2|x+1|^2 < |x+3|^2 - |x-1|^2$

$2(x+1)^2 < (x+3)^2 - (x-1)^2$

$2(x^2 + 2x + 1) < (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 2x + 1)$

$2x^2 + 4x + 2 < 8x + 8$

$2x^2 - 4x - 6 < 0 \implies x^2 - 2x - 3 < 0$

Решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -1$.

Неравенство $(x-3)(x+1) < 0$ выполняется для $x \in (-1, 3)$.

Это решение полностью удовлетворяет условию $x > -1$ и ОДЗ $x \neq -1$.

Ответ: $x \in (-1, 3)$.

в)

Исходное неравенство: $ \frac{2|x+2|}{|x+3|} < \frac{|x+3|}{|x+2|} $.

ОДЗ: $|x+3| \neq 0 \implies x \neq -3$ и $|x+2| \neq 0 \implies x \neq -2$.

Неравенство аналогично пункту а). Сделаем замену $a = |x+2|$ и $b = |x+3|$, где $a>0, b>0$.

$\frac{2a}{b} < \frac{b}{a} \implies 2a^2 < b^2 \implies \sqrt{2}a < b$

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2}|x+2| < |x+3|$

Возведем в квадрат обе части:

$2(x+2)^2 < (x+3)^2$

$2(x^2 + 4x + 4) < x^2 + 6x + 9$

$2x^2 + 8x + 8 < x^2 + 6x + 9$

$x^2 + 2x - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Решение неравенства: $x \in (-1 - \sqrt{2}, -1 + \sqrt{2})$.

Учтем ОДЗ ($x \neq -3, x \neq -2$). Приближенные значения корней: $-1 - \sqrt{2} \approx -2.41$ и $-1 + \sqrt{2} \approx 0.41$. Точка $x=-2$ попадает в этот интервал, поэтому ее нужно исключить. Точка $x=-3$ не входит в интервал.

Ответ: $x \in (-1 - \sqrt{2}, -2) \cup (-2, -1 + \sqrt{2})$.

г)

Исходное неравенство: $ \frac{2|x+5|}{|x+3|+|x+7|} < \frac{|x+3|-|x+7|}{|x+5|} $.

ОДЗ: $|x+5| \neq 0 \implies x \neq -5$.

Аналогично пункту б), левая часть неотрицательна, значит, правая должна быть положительной:

$|x+3| - |x+7| > 0 \implies |x+3| > |x+7|$

Возведем в квадрат: $(x+3)^2 > (x+7)^2 \implies x^2+6x+9 > x^2+14x+49 \implies -40 > 8x \implies x < -5$.

Итак, решения ищем только при $x < -5$.

Умножим обе части исходного неравенства на $|x+5| \cdot (|x+3|+|x+7|) > 0$:

$2|x+5|^2 < |x+3|^2 - |x+7|^2$

$2(x+5)^2 < (x+3)^2 - (x+7)^2$

$2(x^2 + 10x + 25) < (x^2+6x+9) - (x^2+14x+49)$

$2x^2 + 20x + 50 < -8x - 40$

$2x^2 + 28x + 90 < 0 \implies x^2 + 14x + 45 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 14x + 45 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-9, x_2=-5$.

Неравенство $(x+9)(x+5) < 0$ выполняется для $x \in (-9, -5)$.

Этот интервал полностью удовлетворяет условию $x < -5$ и ОДЗ $x \neq -5$.

Ответ: $x \in (-9, -5)$.

11.22* a) $\frac{2}{\sqrt{\sin x}} > \frac{x^2 - x}{\sqrt{\sin x}};$

б) $\frac{6}{\sqrt{\cos x}} > \frac{x^2 + x}{\sqrt{\cos x}}.$

а) $\frac{2}{\sqrt{\sin x}} > \frac{x^2 - x}{\sqrt{\sin x}}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, должно быть строго положительным:

$\sin x > 0$

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам вида $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. На области допустимых значений знаменатель $\sqrt{\sin x}$ положителен. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $\sqrt{\sin x}$, сохранив знак неравенства:

$2 > x^2 - x$

Перепишем это в виде стандартного квадратного неравенства:

$x^2 - x - 2 < 0$

3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Так как парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями направлена вверх, неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями:

$x \in (-1, 2)$

4. Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. То есть, мы ищем такие значения $x$, для которых одновременно выполняются два условия:

$\begin{cases} x \in (-1, 2) \\ \sin x > 0 \end{cases}$

Условие $\sin x > 0$ выполняется на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$. Найдем, какой из этих интервалов пересекается с интервалом $(-1, 2)$.

При $k=0$, получаем интервал $(0, \pi)$. Приближенное значение $\pi \approx 3.14$, так что это интервал $(0, 3.14)$.

Пересечение интервалов $(-1, 2)$ и $(0, \pi)$ есть интервал $(0, 2)$.

При других целых значениях $k$ (например, $k=1$ или $k=-1$) интервалы $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ не имеют общих точек с интервалом $(-1, 2)$.

Таким образом, окончательное решение — это интервал $(0, 2)$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.

б) $\frac{6}{\sqrt{\cos x}} > \frac{x^2 + x}{\sqrt{\cos x}}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$\cos x > 0$

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам вида $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Так как на ОДЗ знаменатель $\sqrt{\cos x}$ положителен, умножим обе части неравенства на него:

$6 > x^2 + x$

Перепишем неравенство в стандартном виде:

$x^2 + x - 6 < 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется между корнями:

$x \in (-3, 2)$

4. Найдем пересечение этого решения с ОДЗ. Ищем значения $x$, удовлетворяющие системе:

$\begin{cases} x \in (-3, 2) \\ \cos x > 0 \end{cases}$

Условие $\cos x > 0$ выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$. Найдем пересечение этих интервалов с интервалом $(-3, 2)$.

При $k=0$, получаем интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Приближенные значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Таким образом, это интервал $(-1.57, 1.57)$.

Пересечение интервалов $(-3, 2)$ и $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

При других целых $k$ интервалы ОДЗ не пересекаются с интервалом $(-3, 2)$.

Следовательно, решением является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.