Страница 289 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

11.17 Докажите утверждение об умножении неравенства на функцию.

Утверждение об умножении неравенства на функцию заключается в том, как изменяется знак неравенства в зависимости от знака функции-множителя. Докажем это утверждение, рассмотрев все возможные случаи для знака функции, на которую производится умножение.

Пусть дано неравенство $f(x) > g(x)$, определенное на некотором множестве $D$. Мы хотим умножить обе части этого неравенства на функцию $h(x)$, также определенную на множестве $D$.

Доказательство для случая, когда $h(x) > 0$

Исходное неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > 0$. Это означает, что разность $(f(x) - g(x))$ является положительной величиной для всех $x$ из области определения, где выполняется исходное неравенство.

Рассмотрим произведение $(f(x) - g(x)) \cdot h(x)$. По условию данного случая, мы рассматриваем те $x$, для которых $h(x) > 0$. Таким образом, мы перемножаем два положительных числа: $(f(x) - g(x)) > 0$ и $h(x) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.

Следовательно, $(f(x) - g(x)) \cdot h(x) > 0$.

Раскроем скобки в левой части полученного неравенства:

$f(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h(x) > 0$

Теперь перенесем слагаемое $- g(x) \cdot h(x)$ в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$

Мы видим, что при умножении обеих частей исходного неравенства на положительную функцию $h(x)$ знак неравенства не изменился. Утверждение для этого случая доказано.

Ответ: Если $h(x) > 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$.

Доказательство для случая, когда $h(x) < 0$

Снова начнем с равносильной формы исходного неравенства: $f(x) - g(x) > 0$. Разность $(f(x) - g(x))$ является положительной величиной.

Рассмотрим произведение $(f(x) - g(x)) \cdot h(x)$. По условию данного случая, мы рассматриваем те $x$, для которых $h(x) < 0$. Таким образом, мы перемножаем положительное число $(f(x) - g(x)) > 0$ и отрицательное число $h(x) < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.

Следовательно, $(f(x) - g(x)) \cdot h(x) < 0$.

Раскроем скобки:

$f(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h(x) < 0$

Перенесем слагаемое $- g(x) \cdot h(x)$ в правую часть:

$f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$

Мы видим, что при умножении обеих частей исходного неравенства на отрицательную функцию $h(x)$ знак неравенства изменился на противоположный. Утверждение для этого случая доказано.

Ответ: Если $h(x) < 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$.

Доказательство для случая, когда $h(x) = 0$

В этом случае мы умножаем обе части исходного неравенства $f(x) > g(x)$ на ноль.

Левая часть станет $f(x) \cdot h(x) = f(x) \cdot 0 = 0$.

Правая часть станет $g(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot 0 = 0$.

В результате умножения мы получаем равенство $0 = 0$, которое является верным для любых $x$, для которых $h(x)=0$. Исходное неравенство при этом преобразуется в верное числовое равенство.

Ответ: Если $h(x) = 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ преобразуется в равенство $f(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot h(x)$ (которое верно и принимает вид $0=0$).

Решите неравенство (11.18–11.22):

11.18 a) $ \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 16}} > \frac{5x - 5}{\sqrt{x^2 - 16}} $;

б) $ \frac{x^2}{\sqrt{5x - x^2}} > \frac{7x - 3}{\sqrt{5x - x^2}} $;

В) $ \frac{x^2}{\sqrt{3x - x^2 - 2}} < \frac{3 - 6x}{\sqrt{3x - x^2 - 2}} $;

Г) $ \frac{x^2}{\sqrt{5 - 4x - x^2}} < \frac{11 - 4x}{\sqrt{5 - 4x - x^2}} $.

а)

Исходное неравенство $\frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 16}} > \frac{5x - 5}{\sqrt{x^2 - 16}}$.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях неравенства одинаковы, и выражение в знаменателе (квадратный корень) должно быть положительным, данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 16 > 0 \\ x^2 > 5x - 5 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ):

$x^2 - 16 > 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 4) > 0$.

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства есть $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$x^2 > 5x - 5 \Rightarrow x^2 - 5x + 5 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x + 5$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Для этого сравним значения корней с границами ОДЗ.

Поскольку $2 < \sqrt{5} < 3$, то $1 < \frac{5 - \sqrt{5}}{2} < 1.5$ и $3.5 < \frac{5 + \sqrt{5}}{2} < 4$.

На числовой оси точки располагаются в следующем порядке: $-4$, $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$, $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$, $4$.

ОДЗ: $(-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

Решение второго неравенства: $(-\infty, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.

Пересечение этих множеств: $(-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

б)

Исходное неравенство $\frac{x^2}{\sqrt{5x - x^2}} > \frac{7x - 3}{\sqrt{5x - x^2}}$.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 5x - x^2 > 0 \\ x^2 > 7x - 3 \end{cases}$

1. Решим ОДЗ:

$5x - x^2 > 0 \Rightarrow x(5 - x) > 0$.

Решение: $x \in (0, 5)$.

2. Решим второе неравенство:

$x^2 - 7x + 3 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 3 = 0$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 49 - 12 = 37$.

Корни: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2}$, $x_2 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2}$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, \frac{7 - \sqrt{37}}{2}) \cup (\frac{7 + \sqrt{37}}{2}, \infty)$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ $x \in (0, 5)$.

Оценим значения корней: $6 < \sqrt{37} < 7$.

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2} \approx \frac{7 - 6.08}{2} = 0.46$. Таким образом, $0 < x_1 < 5$.

$x_2 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2} \approx \frac{7 + 6.08}{2} = 6.54$. Таким образом, $x_2 > 5$.

Пересекая интервал $(0, 5)$ с множеством $(-\infty, \frac{7 - \sqrt{37}}{2}) \cup (\frac{7 + \sqrt{37}}{2}, \infty)$, получаем интервал $(0, \frac{7 - \sqrt{37}}{2})$.

Ответ: $x \in (0, \frac{7 - \sqrt{37}}{2})$.

в)

Исходное неравенство $\frac{x^2}{\sqrt{3x - x^2 - 2}} < \frac{3 - 6x}{\sqrt{3x - x^2 - 2}}$.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x - x^2 - 2 > 0 \\ x^2 < 3 - 6x \end{cases}$

1. Решим ОДЗ:

$-x^2 + 3x - 2 > 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 < 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 2) < 0$.

Решение: $x \in (1, 2)$.

2. Решим второе неравенство:

$x^2 + 6x - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 3 = 0$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48 = 16 \cdot 3$, $\sqrt{D} = 4\sqrt{3}$.

Корни: $x = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.

Решение неравенства: $x \in (-3 - 2\sqrt{3}, -3 + 2\sqrt{3})$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ $x \in (1, 2)$.

Оценим правый конец интервала второго решения: $x_2 = -3 + 2\sqrt{3}$.

Так как $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$, то $3.4 < 2\sqrt{3} < 3.6$, и $0.4 < -3 + 2\sqrt{3} < 0.6$.

Следовательно, $-3 + 2\sqrt{3} < 1$.

Интервал $(-3 - 2\sqrt{3}, -3 + 2\sqrt{3})$ полностью лежит левее интервала $(1, 2)$. Их пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

г)

Исходное неравенство $\frac{x^2}{\sqrt{5 - 4x - x^2}} < \frac{11 - 4x}{\sqrt{5 - 4x - x^2}}$.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 5 - 4x - x^2 > 0 \\ x^2 < 11 - 4x \end{cases}$

1. Решим ОДЗ:

$-x^2 - 4x + 5 > 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 5 < 0 \Rightarrow (x + 5)(x - 1) < 0$.

Решение: $x \in (-5, 1)$.

2. Решим второе неравенство:

$x^2 + 4x - 11 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 11 = 0$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 16 + 44 = 60 = 4 \cdot 15$, $\sqrt{D} = 2\sqrt{15}$.

Корни: $x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -2 \pm \sqrt{15}$.

Решение неравенства: $x \in (-2 - \sqrt{15}, -2 + \sqrt{15})$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ $x \in (-5, 1)$.

Сравним границы интервалов. $x_1 = -2 - \sqrt{15}$. Сравним с $-5$: $-2 - \sqrt{15}$ vs $-5 \Leftrightarrow -\sqrt{15}$ vs $-3 \Leftrightarrow \sqrt{15}$ vs $3 \Leftrightarrow 15$ vs $9$. Так как $15 > 9$, то $\sqrt{15} > 3$ и $-\sqrt{15} < -3$, значит $-2 - \sqrt{15} < -5$. $x_2 = -2 + \sqrt{15}$. Сравним с $1$: $-2 + \sqrt{15}$ vs $1 \Leftrightarrow \sqrt{15}$ vs $3$. Так как $\sqrt{15} > 3$, то $-2 + \sqrt{15} > 1$.

Таким образом, интервал ОДЗ $(-5, 1)$ полностью содержится в интервале $(-2 - \sqrt{15}, -2 + \sqrt{15})$.

Пересечением является сам интервал ОДЗ.

Ответ: $x \in (-5, 1)$.

11.19 a) $ \frac{8 - 3|x|}{4 + |x|} > 1; $

б) $ \frac{9 - 2|x|}{5 + |x|} < 1; $

в) $ \frac{15 + 4|x|}{5 + 6|x|} > 1; $

г) $ \frac{5 + 3|x|}{3 + 5|x|} < 1. $

a) Решим неравенство $\frac{8 - 3|x|}{4 + |x|} > 1$. Введем замену $y = |x|$. Поскольку по определению модуля $|x| \ge 0$, то и $y \ge 0$. Неравенство примет вид: $$ \frac{8 - 3y}{4 + y} > 1 $$ Поскольку $y \ge 0$, знаменатель $4 + y$ всегда положителен ($4 + y \ge 4$). Поэтому можно умножить обе части неравенства на $4 + y$, не меняя знака неравенства: $$ 8 - 3y > 4 + y $$ $$ 8 - 4 > y + 3y $$ $$ 4 > 4y $$ $$ 1 > y \quad \text{или} \quad y < 1 $$ Учитывая условие $y \ge 0$, получаем двойное неравенство: $0 \le y < 1$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$: $$ 0 \le |x| < 1 $$ Неравенство $|x| \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$. Остается решить неравенство $|x| < 1$. Это неравенство равносильно системе $-1 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$.

б) Решим неравенство $\frac{9 - 2|x|}{5 + |x|} < 1$. Сделаем замену $y = |x|$, при этом $y \ge 0$. Неравенство примет вид: $$ \frac{9 - 2y}{5 + y} < 1 $$ Знаменатель $5 + y$ всегда положителен при $y \ge 0$. Умножим обе части на $5+y$: $$ 9 - 2y < 5 + y $$ $$ 9 - 5 < y + 2y $$ $$ 4 < 3y $$ $$ y > \frac{4}{3} $$ Данное решение удовлетворяет условию $y \ge 0$. Выполним обратную замену: $$ |x| > \frac{4}{3} $$ Это неравенство распадается на два: $x > \frac{4}{3}$ или $x < -\frac{4}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{15 + 4|x|}{5 + 6|x|} > 1$. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$. Неравенство примет вид: $$ \frac{15 + 4y}{5 + 6y} > 1 $$ Знаменатель $5 + 6y$ всегда положителен при $y \ge 0$. Умножим обе части на $5+6y$: $$ 15 + 4y > 5 + 6y $$ $$ 15 - 5 > 6y - 4y $$ $$ 10 > 2y $$ $$ 5 > y \quad \text{или} \quad y < 5 $$ С учетом условия $y \ge 0$, получаем $0 \le y < 5$. Вернемся к переменной $x$: $$ 0 \le |x| < 5 $$ Это равносильно неравенству $|x| < 5$, решением которого является интервал $-5 < x < 5$.
Ответ: $x \in (-5; 5)$.

г) Решим неравенство $\frac{5 + 3|x|}{3 + 5|x|} < 1$. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$. Неравенство примет вид: $$ \frac{5 + 3y}{3 + 5y} < 1 $$ Знаменатель $3 + 5y$ всегда положителен при $y \ge 0$. Умножим обе части на $3+5y$: $$ 5 + 3y < 3 + 5y $$ $$ 5 - 3 < 5y - 3y $$ $$ 2 < 2y $$ $$ 1 < y \quad \text{или} \quad y > 1 $$ Это решение удовлетворяет условию $y \ge 0$. Произведем обратную замену: $$ |x| > 1 $$ Это неравенство равносильно совокупности $x > 1$ или $x < -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.