Страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

10.40 a) $\log_2 (8x^2 - x) \cdot \log_{4x} (8x - 1) = 2;$

б) $\log_5 (x - 2) \cdot \log_{\sqrt{x+10}} 5 = 1;$

в) $\log_3 (x - 1) \cdot \log_{\sqrt{x+5}} 3 = 1.$

а) $ \log_2(8x^2 - x) \cdot \log_{4x}(8x - 1) = 2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны, а основание логарифма должно быть положительным и не равным единице:

$ \begin{cases} 8x^2 - x > 0 \\ 8x - 1 > 0 \\ 4x > 0 \\ 4x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(8x - 1) > 0 \\ x > \frac{1}{8} \\ x > 0 \\ x \neq \frac{1}{4} \end{cases} $

Из второго и третьего неравенств следует, что $x > \frac{1}{8}$. При этом условии первое неравенство $x(8x - 1) > 0$ также выполняется. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{8}, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$.

Преобразуем уравнение, используя формулу перехода к новому основанию для второго логарифма: $\log_{4x}(8x - 1) = \frac{\log_2(8x - 1)}{\log_2(4x)}$.

Уравнение примет вид: $ \log_2(8x^2 - x) \cdot \frac{\log_2(8x - 1)}{\log_2(4x)} = 2 $.

Используем свойства логарифмов для аргументов и оснований:
$ \log_2(8x^2 - x) = \log_2(x(8x - 1)) = \log_2(x) + \log_2(8x - 1) $
$ \log_2(4x) = \log_2(4) + \log_2(x) = 2 + \log_2(x) $

Подставим эти выражения в уравнение:

$ (\log_2(x) + \log_2(8x - 1)) \cdot \frac{\log_2(8x - 1)}{2 + \log_2(x)} = 2 $

Сделаем замену: пусть $a = \log_2(x)$ и $b = \log_2(8x - 1)$.

$ (a + b) \cdot \frac{b}{2 + a} = 2 $

$ (a + b)b = 2(2 + a) $

$ ab + b^2 = 4 + 2a $

$ ab - 2a + b^2 - 4 = 0 $

$ a(b - 2) + (b - 2)(b + 2) = 0 $

$ (b - 2)(a + b + 2) = 0 $

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2$. Возвращаемся к замене:

$ \log_2(8x - 1) = 2 $

$ 8x - 1 = 2^2 = 4 $

$ 8x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{8} $

Проверяем, входит ли корень в ОДЗ: $ \frac{5}{8} = 0.625 $, что больше $ \frac{1}{4} = 0.25 $. Корень подходит.

2) $a + b + 2 = 0$. Возвращаемся к замене:

$ \log_2(x) + \log_2(8x - 1) + 2 = 0 $

$ \log_2(x(8x - 1)) = -2 $

$ \log_2(8x^2 - x) = -2 $

$ 8x^2 - x = 2^{-2} = \frac{1}{4} $

$ 32x^2 - 4x - 1 = 0 $

Решаем квадратное уравнение: $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-1) = 16 + 128 = 144 = 12^2 $.

$ x_1 = \frac{4 - 12}{64} = -\frac{8}{64} = -\frac{1}{8} $. Не входит в ОДЗ ($x > 1/8$).

$ x_2 = \frac{4 + 12}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} $. Не входит в ОДЗ ($x \neq 1/4$).

Таким образом, второй случай не дает решений.

Ответ: $ \frac{5}{8} $.

б) $ \log_5(x - 2) \cdot \log_{\sqrt{x + 10}} 5 = 1 $

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ \sqrt{x + 10} > 0 \\ \sqrt{x + 10} \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x + 10 > 0 \\ x + 10 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > -10 \\ x \neq -9 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 2 $.

Используем свойство логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:
$ \log_{\sqrt{x + 10}} 5 = \frac{1}{\log_5(\sqrt{x + 10})} $.

Подставим в исходное уравнение:

$ \log_5(x - 2) \cdot \frac{1}{\log_5(\sqrt{x + 10})} = 1 $

$ \log_5(x - 2) = \log_5(\sqrt{x + 10}) $

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$ x - 2 = \sqrt{x + 10} $

Возведем обе части уравнения в квадрат. Заметим, что по ОДЗ $x > 2$, поэтому $x - 2 > 0$, и возведение в квадрат является равносильным преобразованием.

$ (x - 2)^2 = x + 10 $

$ x^2 - 4x + 4 = x + 10 $

$ x^2 - 5x - 6 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$):
$x_1 = 6$ — подходит.
$x_2 = -1$ — не подходит.

Ответ: $ 6 $.

в) $ \log_3(x - 1) \cdot \log_{\sqrt{x + 5}} 3 = 1 $

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ \sqrt{x + 5} > 0 \\ \sqrt{x + 5} \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x + 5 > 0 \\ x + 5 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > -5 \\ x \neq -4 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 1 $.

Используем свойство логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:
$ \log_{\sqrt{x + 5}} 3 = \frac{1}{\log_3(\sqrt{x + 5})} $.

Подставим в исходное уравнение:

$ \log_3(x - 1) \cdot \frac{1}{\log_3(\sqrt{x + 5})} = 1 $

$ \log_3(x - 1) = \log_3(\sqrt{x + 5}) $

Приравниваем аргументы логарифмов:

$ x - 1 = \sqrt{x + 5} $

Возведем обе части в квадрат. По ОДЗ $x > 1$, поэтому $x - 1 > 0$, и преобразование равносильно.

$ (x - 1)^2 = x + 5 $

$ x^2 - 2x + 1 = x + 5 $

$ x^2 - 3x - 4 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 1$):
$x_1 = 4$ — подходит.
$x_2 = -1$ — не подходит.

Ответ: $ 4 $.

10.41 a) $\log_3 (5x^2 - x) \cdot \log_{3x} (5x - 1) = 1;$

б) $\log_4 (20x^2 - x) \cdot \log_{16x} (20x - 1) = 2.$

а) $\log_{3}(5x^2 - x) \cdot \log_{3x}(5x - 1) = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными, а основание второго логарифма должно быть положительным и не равным единице.

$\begin{cases} 5x^2 - x > 0 \\ 5x - 1 > 0 \\ 3x > 0 \\ 3x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x(5x - 1) > 0 \\ x > 1/5 \\ x > 0 \\ x \neq 1/3 \end{cases}$

Из второго и третьего неравенств следует, что $x > 1/5$. Это условие также удовлетворяет первому неравенству $x(5x-1)>0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 1/5$ и $x \neq 1/3$, или в виде интервала $x \in (1/5, 1/3) \cup (1/3, +\infty)$.

2. Преобразуем уравнение, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Перейдем к общему основанию 3:

$\log_{3x}(5x - 1) = \frac{\log_3(5x - 1)}{\log_3(3x)}$

Подставим это в исходное уравнение:

$\log_{3}(5x^2 - x) \cdot \frac{\log_3(5x - 1)}{\log_3(3x)} = 1$

Умножим обе части на $\log_3(3x)$ (так как из ОДЗ $x \neq 1/3$, то $\log_3(3x) \neq 0$):

$\log_{3}(5x^2 - x) \cdot \log_3(5x - 1) = \log_3(3x)$

Используем свойства логарифмов $\log(ab) = \log a + \log b$:

$\log_3(x(5x - 1)) \cdot \log_3(5x - 1) = \log_3(3) + \log_3(x)$

$(\log_3 x + \log_3(5x - 1)) \cdot \log_3(5x - 1) = 1 + \log_3 x$

3. Введем замену. Пусть $a = \log_3 x$ и $b = \log_3(5x - 1)$. Уравнение примет вид:

$(a + b) \cdot b = 1 + a$

$ab + b^2 = 1 + a$

$ab + b^2 - a - 1 = 0$

$a(b - 1) + (b^2 - 1) = 0$

$a(b - 1) + (b - 1)(b + 1) = 0$

$(b - 1)(a + b + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

4. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b - 1 = 0 \implies b = 1$.

$\log_3(5x - 1) = 1$

$5x - 1 = 3^1$

$5x = 4 \implies x = 4/5$.

Проверим корень по ОДЗ: $4/5 = 0.8$. Так как $0.8 > 1/5$ и $0.8 \neq 1/3$, корень подходит.

Случай 2: $a + b + 1 = 0$.

$\log_3 x + \log_3(5x - 1) + 1 = 0$

$\log_3(x(5x - 1)) = -1$

$\log_3(5x^2 - x) = -1$

$5x^2 - x = 3^{-1} = 1/3$

$15x^2 - 3x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-1) = 9 + 60 = 69$.

Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{69}}{30}$.

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{69}}{30}$. Так как $8 < \sqrt{69} < 9$, то $x_1 \approx \frac{3 + 8.3}{30} \approx 0.377$. Этот корень больше $1/3 \approx 0.333$ и, следовательно, входит в ОДЗ.

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{69}}{30}$. Так как $\sqrt{69} > 3$, этот корень является отрицательным и не входит в ОДЗ.

Ответ: $x = 4/5$, $x = \frac{3 + \sqrt{69}}{30}$.

б) $\log_{4}(20x^2 - x) \cdot \log_{16x}(20x - 1) = 2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 20x^2 - x > 0 \\ 20x - 1 > 0 \\ 16x > 0 \\ 16x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x(20x - 1) > 0 \\ x > 1/20 \\ x > 0 \\ x \neq 1/16 \end{cases}$

Из второго и третьего неравенств следует, что $x > 1/20$. Это условие также удовлетворяет первому неравенству. Таким образом, ОДЗ: $x > 1/20$ и $x \neq 1/16$, или в виде интервала $x \in (1/20, 1/16) \cup (1/16, +\infty)$.

2. Преобразуем уравнение, перейдя к общему основанию 4:

$\log_{16x}(20x - 1) = \frac{\log_4(20x - 1)}{\log_4(16x)}$

Подставим в исходное уравнение:

$\log_{4}(20x^2 - x) \cdot \frac{\log_4(20x - 1)}{\log_4(16x)} = 2$

$\log_{4}(20x^2 - x) \cdot \log_4(20x - 1) = 2 \log_4(16x)$

Используем свойства логарифмов:

$\log_4(x(20x - 1)) \cdot \log_4(20x - 1) = 2(\log_4 16 + \log_4 x)$

$(\log_4 x + \log_4(20x - 1)) \cdot \log_4(20x - 1) = 2(2 + \log_4 x)$

3. Введем замену. Пусть $a = \log_4 x$ и $b = \log_4(20x - 1)$.

$(a + b) \cdot b = 2(2 + a)$

$ab + b^2 = 4 + 2a$

$ab + b^2 - 2a - 4 = 0$

$a(b - 2) + (b^2 - 4) = 0$

$a(b - 2) + (b - 2)(b + 2) = 0$

$(b - 2)(a + b + 2) = 0$

4. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b - 2 = 0 \implies b = 2$.

$\log_4(20x - 1) = 2$

$20x - 1 = 4^2 = 16$

$20x = 17 \implies x = 17/20$.

Проверим корень по ОДЗ: $17/20 = 0.85$. $1/20 = 0.05$, $1/16 = 0.0625$. Корень $0.85$ входит в ОДЗ.

Случай 2: $a + b + 2 = 0$.

$\log_4 x + \log_4(20x - 1) + 2 = 0$

$\log_4(x(20x - 1)) = -2$

$\log_4(20x^2 - x) = -2$

$20x^2 - x = 4^{-2} = 1/16$

$320x^2 - 16x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 320 \cdot (-1) = 256 + 1280 = 1536$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1536} = \sqrt{256 \cdot 6} = 16\sqrt{6}$.

Корни: $x = \frac{16 \pm 16\sqrt{6}}{2 \cdot 320} = \frac{16(1 \pm \sqrt{6})}{640} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{40}$.

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{6}}{40}$. Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, то $x_1 \approx \frac{1 + 2.45}{40} \approx 0.086$. Этот корень больше $1/16 \approx 0.0625$ и, следовательно, входит в ОДЗ.

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{6}}{40}$. Этот корень является отрицательным и не входит в ОДЗ.

Ответ: $x = 17/20$, $x = \frac{1 + \sqrt{6}}{40}$.

10.42 a) $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = 4$;

б) $x^2 - \lg^2 x - \lg x^2 - \frac{1}{x} = 0$.

а) $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = 4$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание степени $x$ и аргумент логарифма $2x$ должны быть положительны, а основание логарифма $\sqrt{x}$ должно быть положительно и не равно 1.

1. $x > 0$

2. $2x > 0 \implies x > 0$

3. $\sqrt{x} > 0 \implies x > 0$

4. $\sqrt{x} \neq 1 \implies x \neq 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя основное логарифмическое тождество в сочетании со свойствами логарифмов. Сначала упростим показатель степени:

$\log_{\sqrt{x}} 2x = \log_{x^{1/2}} 2x = \frac{1}{1/2}\log_x (2x) = 2\log_x(2x)$

Подставим это в исходное уравнение:

$x^{2\log_x(2x)} = 4$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$(x^{\log_x(2x)})^2 = 4$

$(2x)^2 = 4$

$4x^2 = 4$

$x^2 = 1$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).

Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как основание логарифма $\sqrt{x}$ не может быть равно 1.

Корень $x_2 = -1$ не входит в ОДЗ, так как основание степени $x$ должно быть положительным.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б) $x^{2 - \lg^2 x - \lg x^2} - \frac{1}{x} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). В уравнении присутствуют десятичные логарифмы $\lg x$ и $\lg x^2$.

1. Аргумент логарифма $\lg x$ должен быть положителен: $x > 0$.

2. Аргумент логарифма $\lg x^2$ должен быть положителен: $x^2 > 0$, что означает $x \neq 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Перепишем исходное уравнение:

$x^{2 - \lg^2 x - \lg x^2} = \frac{1}{x}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $x$:

$x^{2 - \lg^2 x - \lg x^2} = x^{-1}$

Так как основания степеней равны и $x>0$, мы можем приравнять показатели степеней. Случай $x=1$ можно проверить отдельно: $1 = 1$. Подставим $x=1$ в равенство показателей: $2 - (\lg 1)^2 - \lg(1^2) = -1 \implies 2 - 0 - 0 = -1 \implies 2 = -1$, что неверно. Значит, $x \neq 1$, и мы можем приравнивать показатели.

$2 - \lg^2 x - \lg x^2 = -1$

Используем свойство логарифма $\lg x^2 = 2\lg x$ (это преобразование корректно, так как по ОДЗ $x>0$):

$2 - (\lg x)^2 - 2\lg x = -1$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$2 - t^2 - 2t = -1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = -2$, а произведение $t_1 t_2 = -3$. Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $t = 1$, то $\lg x = 1$. Отсюда $x = 10^1 = 10$.

2. Если $t = -3$, то $\lg x = -3$. Отсюда $x = 10^{-3} = 0.001$.

Оба полученных корня ($x=10$ и $x=0.001$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $10; 0.001$.

10.43* a) $(x^2 + 1)^{\sqrt{8x - x^2 - 15}} = (2x + 9)^{\sqrt{8x - x^2 - 15}},$

б) $(x^2 - 8)^{\sqrt{24x - 4x^2 - 35}} = (7x - 20)^{\sqrt{24x - 4x^2 - 35}}.$

а)

Данное уравнение является показательно-степенным и имеет вид $f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)}$. Его решение возможно при рассмотрении следующих случаев.

1. Область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение в показателе степени находится под знаком квадратного корня, поэтому оно должно быть неотрицательным: $8x - x^2 - 15 \ge 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 8x + 15 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$. Так как парабола $y = x^2 - 8x + 15$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [3, 5]$.
Для вещественного показателя степени основания должны быть положительными. Основание $x^2 + 1$ всегда больше нуля при любом $x$. Основание $2x + 9$ должно быть положительным: $2x + 9 > 0 \implies x > -4.5$. Это условие выполняется для всех $x$ из отрезка $[3, 5]$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [3, 5]$.

2. Случай 1: Показатель степени равен нулю.
Если показатель степени равен нулю, а основания не равны нулю, то равенство верно, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
$\sqrt{8x - x^2 - 15} = 0$
$8x - x^2 - 15 = 0$
Корнями этого уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Оба корня принадлежат ОДЗ. При этих значениях $x$ основания степеней не равны нулю. Следовательно, $x=3$ и $x=5$ являются решениями уравнения.

3. Случай 2: Основания степеней равны.
Равенство будет верным, если при одинаковых ненулевых показателях равны и основания.
$x^2 + 1 = 2x + 9$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = 4$ и $x_4 = -2$.
Корень $x = 4$ принадлежит ОДЗ ($4 \in [3, 5]$), поэтому он является решением.
Корень $x = -2$ не принадлежит ОДЗ ($-2 \notin [3, 5]$), поэтому он не является решением.

Объединяя все найденные в обоих случаях корни, получаем итоговый набор решений.

Ответ: $3, 4, 5$.

б)

Данное уравнение имеет вид $f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)}$. Решим его, рассмотрев все возможные случаи.

1. Область определения показателя степени.
Подкоренное выражение в показателе должно быть неотрицательным: $24x - 4x^2 - 35 \ge 0$
$4x^2 - 24x + 35 \le 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - 24x + 35 = 0$.
Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 35 = 576 - 560 = 16$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{24 \pm 4}{8}$.
$x_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5$.
$x_2 = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Ветви параболы $y = 4x^2 - 24x + 35$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке: $x \in [2.5, 3.5]$.

2. Случай 1: Показатель степени равен нулю.
$\sqrt{24x - 4x^2 - 35} = 0$
Это верно при $x=2.5$ и $x=3.5$. В этом случае равенство $a^0=b^0$ выполняется, если основания $a$ и $b$ не равны нулю.
При $x = 2.5$:
Основание $x^2 - 8 = (2.5)^2 - 8 = 6.25 - 8 = -1.75 \ne 0$.
Основание $7x - 20 = 7(2.5) - 20 = 17.5 - 20 = -2.5 \ne 0$.
Так как оба основания не равны нулю, $x=2.5$ является решением. При $x = 3.5$:
Основание $x^2 - 8 = (3.5)^2 - 8 = 12.25 - 8 = 4.25 \ne 0$.
Основание $7x - 20 = 7(3.5) - 20 = 24.5 - 20 = 4.5 \ne 0$.
Так как оба основания не равны нулю, $x=3.5$ является решением.

3. Случай 2: Основания степеней равны.
Равенство выполняется, если основания равны, а показатель степени определен.
$x^2 - 8 = 7x - 20$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = 3$ и $x_4 = 4$.
Корень $x = 3$ принадлежит области определения показателя ($3 \in [2.5, 3.5]$). При $x=3$ оба основания положительны ($3^2-8=1>0$ и $7(3)-20=1>0$), поэтому $x=3$ является решением.
Корень $x = 4$ не принадлежит области определения показателя ($4 \notin [2.5, 3.5]$), поэтому не является решением.

4. Случай 3: Основания степеней противоположны.
Равенство $a^c = b^c$ может выполняться, если $a = -b$, а показатель $c$ — четное целое число.
$x^2 - 8 = -(7x - 20) \implies x^2 + 7x - 28 = 0$.
Корни этого уравнения $x = \frac{-7 \pm \sqrt{161}}{2}$.
Один из корней, $x = \frac{-7 + \sqrt{161}}{2}$, принадлежит отрезку $[2.5, 3.5]$. Однако при подстановке этого значения в выражение для показателя $\sqrt{24x - 4x^2 - 35}$ не получается четное целое число. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $2.5, 3, 3.5$.

10.44* a) $ \frac{1}{\sqrt{x-1}} = (x-1)^{\log_{\frac{1}{25}}(8+2x-x^2)} $;

б) $ \frac{1}{\sqrt{2x-1}} = (2x-1)^{\log_{\frac{1}{4}}(1+7x-2x^2)} $.

Решим уравнение $ \frac{1}{\sqrt{x-1}} = (x-1)^{\log_{\frac{1}{25}}(8+2x-x^2)} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение имеет смысл, если выполнены следующие условия:

$ \begin{cases} x-1 > 0 & \text{(подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным)} \\ 8+2x-x^2 > 0 & \text{(аргумент логарифма должен быть положительным)} \end{cases} $

Из первого неравенства получаем: $ x > 1 $.

Решим второе неравенство: $ -x^2+2x+8 > 0 $, или $ x^2 - 2x - 8 < 0 $. Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 - 2x - 8 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = 4 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $ x^2 - 2x - 8 < 0 $ выполняется между корнями, то есть при $ x \in (-2, 4) $.

Пересекая оба условия ($ x > 1 $ и $ x \in (-2, 4) $), получаем ОДЗ: $ x \in (1, 4) $.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Левую часть можно записать в виде степени с основанием $ (x-1) $:

$ \frac{1}{\sqrt{x-1}} = (x-1)^{-\frac{1}{2}} $.

Уравнение принимает вид:

$ (x-1)^{-\frac{1}{2}} = (x-1)^{\log_{\frac{1}{25}}(8+2x-x^2)} $.

Это показательное уравнение вида $ a^{f(x)} = a^{g(x)} $. Оно равносильно совокупности двух случаев с учетом ОДЗ:

1. Основание степени равно 1.
$ x-1 = 1 \implies x = 2 $.
Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ. $ 2 \in (1, 4) $, значит, $ x=2 $ является решением.

2. Показатели степеней равны (при условии, что основание $ x-1 > 0 $ и $ x-1 \neq 1 $).
$ -\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{25}}(8+2x-x^2) $.
По определению логарифма:
$ 8+2x-x^2 = \left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = (25^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5 $.
Получаем квадратное уравнение:
$ 8+2x-x^2 = 5 $
$ -x^2+2x+3 = 0 $
$ x^2 - 2x - 3 = 0 $.
По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $ x \in (1, 4) $:
$ x_1 = 3 $: корень принадлежит ОДЗ.
$ x_2 = -1 $: корень не принадлежит ОДЗ.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $ \{2; 3\} $.

Решим уравнение $ \frac{1}{\sqrt{2x-1}} = (2x-1)^{\log_{\frac{1}{4}}(1+7x-2x^2)} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 2x-1 > 0 \\ 1+7x-2x^2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем: $ 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2} $.

Решим второе неравенство: $ -2x^2+7x+1 > 0 $, или $ 2x^2 - 7x - 1 < 0 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2 - 7x - 1 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 49 + 8 = 57 $.
Корни: $ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{4} $.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $ 2x^2 - 7x - 1 < 0 $ выполняется при $ x \in (\frac{7 - \sqrt{57}}{4}, \frac{7 + \sqrt{57}}{4}) $.

Найдем пересечение условий $ x > \frac{1}{2} $ и $ x \in (\frac{7 - \sqrt{57}}{4}, \frac{7 + \sqrt{57}}{4}) $.
Так как $ \sqrt{49} < \sqrt{57} < \sqrt{64} $, то $ 7 < \sqrt{57} < 8 $.
Следовательно, $ 7 - \sqrt{57} < 0 $, и $ \frac{7 - \sqrt{57}}{4} < 0 $.
Поэтому ОДЗ определяется интервалом $ x \in (\frac{1}{2}, \frac{7 + \sqrt{57}}{4}) $.

Преобразуем исходное уравнение:

$ (2x-1)^{-\frac{1}{2}} = (2x-1)^{\log_{\frac{1}{4}}(1+7x-2x^2)} $.

Рассмотрим два случая:

1. Основание степени равно 1.
$ 2x-1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1 $.
Проверим, принадлежит ли $ x=1 $ ОДЗ: $ \frac{1}{2} < 1 < \frac{7 + \sqrt{57}}{4} $ (неравенство $ 1 < \frac{7+\sqrt{57}}{4} \iff 4 < 7+\sqrt{57} \iff -3 < \sqrt{57} $ верно). Следовательно, $ x=1 $ является решением.

2. Показатели степеней равны.
$ -\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{4}}(1+7x-2x^2) $.
По определению логарифма:
$ 1+7x-2x^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = (4^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 $.
Получаем квадратное уравнение:
$ 1+7x-2x^2 = 2 $
$ -2x^2+7x-1 = 0 $
$ 2x^2 - 7x + 1 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 49 - 8 = 41 $.
Корни: $ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4} $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $ x \in (\frac{1}{2}, \frac{7 + \sqrt{57}}{4}) $:
$ x_1 = \frac{7 - \sqrt{41}}{4} $. Так как $ 6 < \sqrt{41} < 7 $, то $ 0 < 7 - \sqrt{41} < 1 $, и $ 0 < \frac{7 - \sqrt{41}}{4} < \frac{1}{4} $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x > \frac{1}{2} $.
$ x_2 = \frac{7 + \sqrt{41}}{4} $. Проверим: $ \frac{7+\sqrt{41}}{4} > \frac{1}{2} \iff 7+\sqrt{41} > 2 \iff 5 > -\sqrt{41} $ (верно). Также $ \frac{7+\sqrt{41}}{4} < \frac{7+\sqrt{57}}{4} \iff \sqrt{41} < \sqrt{57} $ (верно). Корень принадлежит ОДЗ.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $ \{1; \frac{7 + \sqrt{41}}{4}\} $.

10.45* а) $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}};$

б) $\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} = (4 - x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}},$

в) $\frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} = (2 - x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}};$

г) $\frac{1}{\sqrt{2 - x^2}} = (2 - x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}}.$

а)

Решим уравнение $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $1-x^2 > 0$, что дает $x^2 < 1$, или $-1 < x < 1$.
Знаменатель показателя степени не должен быть равен нулю: $\sin x + 1 \neq 0$, то есть $\sin x \neq -1$. Это соответствует $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, это значение не входит в интервал $(-1, 1)$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1, 1)$.

2. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степени: $\frac{1}{\sqrt{a}} = a^{-1/2}$.
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-1/2}$.

3. Уравнение принимает вид:
$(1-x^2)^{-1/2} = (1-x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}}$.

4. Это показательное уравнение. Решения могут быть в двух случаях:
Случай 1: Основание степени равно 1.
$1-x^2 = 1 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$.
Проверим, входит ли корень в ОДЗ: $0 \in (-1, 1)$. Да, входит. Следовательно, $x=0$ является решением.

Случай 2: Основание степени не равно 1.
В этом случае равенство возможно, только если равны показатели степеней.
$-\frac{1}{2} = -\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}$
$\frac{1}{2} = \frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}$
$\sin x + 1 = 2\sin^2 x$
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.
Сделаем замену $y = \sin x$.
$2y^2 - y - 1 = 0$.
Решаем квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9$.
$y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.
$y_1 = 1$, $y_2 = -\frac{1}{2}$.

5. Возвращаемся к переменной $x$.
а) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, это значение и все остальные корни этой серии не принадлежат ОДЗ $(-1, 1)$.
б) $\sin x = -\frac{1}{2} \implies x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни, принадлежащие ОДЗ $(-1, 1)$.
При $n=0$: $x = -\frac{\pi}{6}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx -0.52$, что принадлежит интервалу $(-1, 1)$.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} > 1$.
При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6} < -1$.
Единственный корень из этой серии, удовлетворяющий ОДЗ, это $x = -\frac{\pi}{6}$.

6. Объединяя решения из обоих случаев, получаем корни уравнения: $x=0$ и $x=-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $0; -\frac{\pi}{6}$.

б)

Решим уравнение $\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} = (4-x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}}$.

1. Найдем ОДЗ: $4-x^2 > 0 \implies x^2 < 4 \implies -2 < x < 2$.
Также $\cos x + 1 \neq 0 \implies \cos x \neq -1$. Это соответствует $x \neq \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\pi \approx 3.14 > 2$, эти точки не входят в интервал $(-2, 2)$. ОДЗ: $x \in (-2, 2)$.

2. Преобразуем уравнение:
$(4-x^2)^{-1/2} = (4-x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}}$.

3. Рассмотрим два случая:
Случай 1: Основание степени равно 1.
$4-x^2 = 1 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
Проверим ОДЗ: $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому оба корня $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ принадлежат интервалу $(-2, 2)$. Это решения.

Случай 2: Основание степени не равно 1.
Приравниваем показатели степеней:
$-\frac{1}{2} = -\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}$
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.
Замена $z = \cos x$ приводит к квадратному уравнению $2z^2 - z - 1 = 0$, корни которого $z_1=1$ и $z_2 = -1/2$.

4. Возвращаемся к переменной $x$.
а) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
При $k=0$ получаем $x=0$. Этот корень принадлежит ОДЗ $(-2, 2)$.
При других $k$ корни выходят за пределы ОДЗ.
б) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3} \approx 2.09 > 2$, ни один корень из этой серии не попадает в ОДЗ.

5. Объединяем все найденные решения: $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; 0; \sqrt{3}$.

в)

Решим уравнение $\frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = (2-x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}}$.

1. Найдем ОДЗ: $2-x^2 > 0 \implies x^2 < 2 \implies -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.
Также $\sin x + 1 \neq 0 \implies \sin x \neq -1$. Точка $x=-\pi/2 \approx -1.57$ не входит в ОДЗ $(-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \approx (-1.414, 1.414)$. ОДЗ: $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

2. Преобразуем уравнение:
$(2-x^2)^{-1/2} = (2-x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}}$.

3. Рассмотрим два случая:
Случай 1: Основание степени равно 1.
$2-x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Оба корня принадлежат ОДЗ $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Это решения.

Случай 2: Основание степени не равно 1.
Приравниваем показатели: $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.
Как и в пункте а), получаем $\sin x = 1$ или $\sin x = -1/2$.

4. Находим $x$ и проверяем по ОДЗ.
а) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
$\frac{\pi}{2} \approx 1.57 > \sqrt{2} \approx 1.414$. Решений в ОДЗ нет.
б) $\sin x = -1/2 \implies x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$.
При $n=0$ имеем $x = -\frac{\pi}{6}$. Этот корень $-\frac{\pi}{6} \approx -0.52$ принадлежит ОДЗ $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
Другие корни этой серии не входят в ОДЗ.

5. Объединяем решения: $x=1$, $x=-1$, $x=-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-1; -\frac{\pi}{6}; 1$.

г)

Решим уравнение $\frac{1}{\sqrt{2-x^2}} = (2-x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}}$.

1. Найдем ОДЗ: $2-x^2 > 0 \implies -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.
Также $\cos x \neq -1$. Точка $x=\pi \approx 3.14$ не входит в ОДЗ. ОДЗ: $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

2. Преобразуем уравнение:
$(2-x^2)^{-1/2} = (2-x^2)^{-\frac{\cos^2 x}{\cos x + 1}}$.

3. Рассмотрим два случая:
Случай 1: Основание степени равно 1.
$2-x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Оба корня принадлежат ОДЗ $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Это решения.

Случай 2: Основание степени не равно 1.
Приравниваем показатели: $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.
Как и в пункте б), получаем $\cos x = 1$ или $\cos x = -1/2$.

4. Находим $x$ и проверяем по ОДЗ.
а) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k$.
При $k=0$ получаем $x=0$. Этот корень принадлежит ОДЗ.
б) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
$\frac{2\pi}{3} \approx 2.09 > \sqrt{2} \approx 1.414$. Решений в ОДЗ нет.

5. Объединяем все найденные решения: $x=0$, $x=1$, $x=-1$.

Ответ: $-1; 0; 1$.

10.46* a) $\log_{|x|} (1+x) = \log_{|x|} (x^2 - 5)$;

б) $\log_{|x|} (9+x) = \log_{|x|} (x^2 + 7)$.

а) $\log_{|x|}(1+x) = \log_{|x|}(x^2-5)$

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Основание логарифма $|x|$ должно быть больше нуля и не равно единице:
   • $|x| > 0 \implies x \neq 0$
   • $|x| \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$
2. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
   • $1+x > 0 \implies x > -1$
   • $x^2-5 > 0 \implies x^2 > 5 \implies x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$

Найдем пересечение всех условий. Условие $x > -1$ и ($x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$) совместно выполняются только при $x > \sqrt{5}$. Этот интервал также удовлетворяет условиям $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (\sqrt{5}, +\infty)$.

Поскольку основания логарифмов в уравнении одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$1+x = x^2-5$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями уравнения являются:

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > \sqrt{5}$):

• Для $x_1 = 3$: так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, этот корень входит в ОДЗ.
• Для $x_2 = -2$: этот корень не входит в ОДЗ, так как $-2 < \sqrt{5}$.

Следовательно, решением является только $x=3$.

Ответ: 3

б) $\log_{|x|}(9+x) = \log_{|x|}(x^2+7)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения.

1. Основание логарифма $|x|$:
   • $|x| > 0 \implies x \neq 0$
   • $|x| \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$
2. Аргументы логарифмов:
   • $9+x > 0 \implies x > -9$
   • $x^2+7 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+7 \ge 7 > 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-9, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Потенцируем уравнение, так как основания логарифмов равны, то есть приравниваем их аргументы:

$9+x = x^2+7$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - x - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:

• Для $x_1 = 2$: корень удовлетворяет ОДЗ, так как $2$ входит в интервал $(1, +\infty)$.
• Для $x_2 = -1$: корень не удовлетворяет ОДЗ, так как основание логарифма $|x|$ не может быть равно 1.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 2

10.47 ИССЛЕДУЕМ. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x^2 - a^2}{x - 4} = 0$ имеет единственный корень?

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} x^2 - a^2 = 0 \\ x - 4 \neq 0 \end{cases} $$

Из второго условия системы находим область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 4$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $x^2 - a^2 = 0$. Используя формулу разности квадратов, разложим его на множители: $(x-a)(x+a)=0$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = a$ и $x_2 = -a$.

Исходное уравнение будет иметь единственный корень в следующих случаях:

1. Корни числителя совпадают.
Это происходит, когда $a = -a$, что равносильно $2a = 0$, и, следовательно, $a = 0$.
При $a = 0$ уравнение числителя принимает вид $x^2 = 0$ и имеет один корень $x = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \neq 4$.
Таким образом, при $a=0$ исходное уравнение имеет единственный корень.

2. Корни числителя различны, но один из них не удовлетворяет ОДЗ.
Корни $a$ и $-a$ различны, если $a \neq 0$. Условие ОДЗ — $x \neq 4$. Это означает, что один из корней ($a$ или $-a$) должен быть равен 4, а другой корень (который и будет решением уравнения) не должен быть равен 4.
Рассмотрим два подслучая:

а) Корень $x_1 = a$ равен 4, то есть $a = 4$.При $a = 4$ корнями числителя являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Корень $x_1=4$ не входит в ОДЗ и исключается. Остается единственный корень $x_2=-4$, который удовлетворяет ОДЗ ($-4 \neq 4$). Следовательно, значение $a = 4$ подходит.

б) Корень $x_2 = -a$ равен 4, то есть $a = -4$.При $a = -4$ корнями числителя являются $x_1 = -4$ и $x_2 = -(-4) = 4$. Корень $x_2=4$ не входит в ОДЗ и исключается. Остается единственный корень $x_1=-4$, который удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, значение $a = -4$ также подходит.

Объединяя все найденные значения параметра, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=0$, $a=4$ и $a=-4$.

Ответ: $a = -4; 0; 4$.