Номер 10.40, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.40, страница 281.
№10.40 (с. 281)
Условие. №10.40 (с. 281)
скриншот условия

10.40 a) $\log_2 (8x^2 - x) \cdot \log_{4x} (8x - 1) = 2;$
б) $\log_5 (x - 2) \cdot \log_{\sqrt{x+10}} 5 = 1;$
в) $\log_3 (x - 1) \cdot \log_{\sqrt{x+5}} 3 = 1.$
Решение 1. №10.40 (с. 281)



Решение 2. №10.40 (с. 281)




Решение 4. №10.40 (с. 281)
а) $ \log_2(8x^2 - x) \cdot \log_{4x}(8x - 1) = 2 $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны, а основание логарифма должно быть положительным и не равным единице:
$ \begin{cases} 8x^2 - x > 0 \\ 8x - 1 > 0 \\ 4x > 0 \\ 4x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(8x - 1) > 0 \\ x > \frac{1}{8} \\ x > 0 \\ x \neq \frac{1}{4} \end{cases} $
Из второго и третьего неравенств следует, что $x > \frac{1}{8}$. При этом условии первое неравенство $x(8x - 1) > 0$ также выполняется. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{8}, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$.
Преобразуем уравнение, используя формулу перехода к новому основанию для второго логарифма: $\log_{4x}(8x - 1) = \frac{\log_2(8x - 1)}{\log_2(4x)}$.
Уравнение примет вид: $ \log_2(8x^2 - x) \cdot \frac{\log_2(8x - 1)}{\log_2(4x)} = 2 $.
Используем свойства логарифмов для аргументов и оснований:
$ \log_2(8x^2 - x) = \log_2(x(8x - 1)) = \log_2(x) + \log_2(8x - 1) $
$ \log_2(4x) = \log_2(4) + \log_2(x) = 2 + \log_2(x) $
Подставим эти выражения в уравнение:
$ (\log_2(x) + \log_2(8x - 1)) \cdot \frac{\log_2(8x - 1)}{2 + \log_2(x)} = 2 $
Сделаем замену: пусть $a = \log_2(x)$ и $b = \log_2(8x - 1)$.
$ (a + b) \cdot \frac{b}{2 + a} = 2 $
$ (a + b)b = 2(2 + a) $
$ ab + b^2 = 4 + 2a $
$ ab - 2a + b^2 - 4 = 0 $
$ a(b - 2) + (b - 2)(b + 2) = 0 $
$ (b - 2)(a + b + 2) = 0 $
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2$. Возвращаемся к замене:
$ \log_2(8x - 1) = 2 $
$ 8x - 1 = 2^2 = 4 $
$ 8x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{8} $
Проверяем, входит ли корень в ОДЗ: $ \frac{5}{8} = 0.625 $, что больше $ \frac{1}{4} = 0.25 $. Корень подходит.
2) $a + b + 2 = 0$. Возвращаемся к замене:
$ \log_2(x) + \log_2(8x - 1) + 2 = 0 $
$ \log_2(x(8x - 1)) = -2 $
$ \log_2(8x^2 - x) = -2 $
$ 8x^2 - x = 2^{-2} = \frac{1}{4} $
$ 32x^2 - 4x - 1 = 0 $
Решаем квадратное уравнение: $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-1) = 16 + 128 = 144 = 12^2 $.
$ x_1 = \frac{4 - 12}{64} = -\frac{8}{64} = -\frac{1}{8} $. Не входит в ОДЗ ($x > 1/8$).
$ x_2 = \frac{4 + 12}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} $. Не входит в ОДЗ ($x \neq 1/4$).
Таким образом, второй случай не дает решений.
Ответ: $ \frac{5}{8} $.
б) $ \log_5(x - 2) \cdot \log_{\sqrt{x + 10}} 5 = 1 $
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ \sqrt{x + 10} > 0 \\ \sqrt{x + 10} \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x + 10 > 0 \\ x + 10 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > -10 \\ x \neq -9 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 2 $.
Используем свойство логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:
$ \log_{\sqrt{x + 10}} 5 = \frac{1}{\log_5(\sqrt{x + 10})} $.
Подставим в исходное уравнение:
$ \log_5(x - 2) \cdot \frac{1}{\log_5(\sqrt{x + 10})} = 1 $
$ \log_5(x - 2) = \log_5(\sqrt{x + 10}) $
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$ x - 2 = \sqrt{x + 10} $
Возведем обе части уравнения в квадрат. Заметим, что по ОДЗ $x > 2$, поэтому $x - 2 > 0$, и возведение в квадрат является равносильным преобразованием.
$ (x - 2)^2 = x + 10 $
$ x^2 - 4x + 4 = x + 10 $
$ x^2 - 5x - 6 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$):
$x_1 = 6$ — подходит.
$x_2 = -1$ — не подходит.
Ответ: $ 6 $.
в) $ \log_3(x - 1) \cdot \log_{\sqrt{x + 5}} 3 = 1 $
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ \sqrt{x + 5} > 0 \\ \sqrt{x + 5} \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x + 5 > 0 \\ x + 5 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > -5 \\ x \neq -4 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 1 $.
Используем свойство логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:
$ \log_{\sqrt{x + 5}} 3 = \frac{1}{\log_3(\sqrt{x + 5})} $.
Подставим в исходное уравнение:
$ \log_3(x - 1) \cdot \frac{1}{\log_3(\sqrt{x + 5})} = 1 $
$ \log_3(x - 1) = \log_3(\sqrt{x + 5}) $
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ x - 1 = \sqrt{x + 5} $
Возведем обе части в квадрат. По ОДЗ $x > 1$, поэтому $x - 1 > 0$, и преобразование равносильно.
$ (x - 1)^2 = x + 5 $
$ x^2 - 2x + 1 = x + 5 $
$ x^2 - 3x - 4 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 1$):
$x_1 = 4$ — подходит.
$x_2 = -1$ — не подходит.
Ответ: $ 4 $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.40 расположенного на странице 281 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.40 (с. 281), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.