Номер 10.40, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.40, страница 281.

Условие.

10.40 a) $\log_2 (8x^2 - x) \cdot \log_{4x} (8x - 1) = 2;$

б) $\log_5 (x - 2) \cdot \log_{\sqrt{x+10}} 5 = 1;$

в) $\log_3 (x - 1) \cdot \log_{\sqrt{x+5}} 3 = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $ \log_2(8x^2 - x) \cdot \log_{4x}(8x - 1) = 2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны, а основание логарифма должно быть положительным и не равным единице:

$ \begin{cases} 8x^2 - x > 0 \\ 8x - 1 > 0 \\ 4x > 0 \\ 4x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(8x - 1) > 0 \\ x > \frac{1}{8} \\ x > 0 \\ x \neq \frac{1}{4} \end{cases} $

Из второго и третьего неравенств следует, что $x > \frac{1}{8}$. При этом условии первое неравенство $x(8x - 1) > 0$ также выполняется. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{8}, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$.

Преобразуем уравнение, используя формулу перехода к новому основанию для второго логарифма: $\log_{4x}(8x - 1) = \frac{\log_2(8x - 1)}{\log_2(4x)}$.

Уравнение примет вид: $ \log_2(8x^2 - x) \cdot \frac{\log_2(8x - 1)}{\log_2(4x)} = 2 $.

Используем свойства логарифмов для аргументов и оснований:
$ \log_2(8x^2 - x) = \log_2(x(8x - 1)) = \log_2(x) + \log_2(8x - 1) $
$ \log_2(4x) = \log_2(4) + \log_2(x) = 2 + \log_2(x) $

Подставим эти выражения в уравнение:

$ (\log_2(x) + \log_2(8x - 1)) \cdot \frac{\log_2(8x - 1)}{2 + \log_2(x)} = 2 $

Сделаем замену: пусть $a = \log_2(x)$ и $b = \log_2(8x - 1)$.

$ (a + b) \cdot \frac{b}{2 + a} = 2 $

$ (a + b)b = 2(2 + a) $

$ ab + b^2 = 4 + 2a $

$ ab - 2a + b^2 - 4 = 0 $

$ a(b - 2) + (b - 2)(b + 2) = 0 $

$ (b - 2)(a + b + 2) = 0 $

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2$. Возвращаемся к замене:

$ \log_2(8x - 1) = 2 $

$ 8x - 1 = 2^2 = 4 $

$ 8x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{8} $

Проверяем, входит ли корень в ОДЗ: $ \frac{5}{8} = 0.625 $, что больше $ \frac{1}{4} = 0.25 $. Корень подходит.

2) $a + b + 2 = 0$. Возвращаемся к замене:

$ \log_2(x) + \log_2(8x - 1) + 2 = 0 $

$ \log_2(x(8x - 1)) = -2 $

$ \log_2(8x^2 - x) = -2 $

$ 8x^2 - x = 2^{-2} = \frac{1}{4} $

$ 32x^2 - 4x - 1 = 0 $

Решаем квадратное уравнение: $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-1) = 16 + 128 = 144 = 12^2 $.

$ x_1 = \frac{4 - 12}{64} = -\frac{8}{64} = -\frac{1}{8} $. Не входит в ОДЗ ($x > 1/8$).

$ x_2 = \frac{4 + 12}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} $. Не входит в ОДЗ ($x \neq 1/4$).

Таким образом, второй случай не дает решений.

Ответ: $ \frac{5}{8} $.

б) $ \log_5(x - 2) \cdot \log_{\sqrt{x + 10}} 5 = 1 $

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ \sqrt{x + 10} > 0 \\ \sqrt{x + 10} \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x + 10 > 0 \\ x + 10 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > -10 \\ x \neq -9 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 2 $.

Используем свойство логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:
$ \log_{\sqrt{x + 10}} 5 = \frac{1}{\log_5(\sqrt{x + 10})} $.

Подставим в исходное уравнение:

$ \log_5(x - 2) \cdot \frac{1}{\log_5(\sqrt{x + 10})} = 1 $

$ \log_5(x - 2) = \log_5(\sqrt{x + 10}) $

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$ x - 2 = \sqrt{x + 10} $

Возведем обе части уравнения в квадрат. Заметим, что по ОДЗ $x > 2$, поэтому $x - 2 > 0$, и возведение в квадрат является равносильным преобразованием.

$ (x - 2)^2 = x + 10 $

$ x^2 - 4x + 4 = x + 10 $

$ x^2 - 5x - 6 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$):
$x_1 = 6$ — подходит.
$x_2 = -1$ — не подходит.

Ответ: $ 6 $.

в) $ \log_3(x - 1) \cdot \log_{\sqrt{x + 5}} 3 = 1 $

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ \sqrt{x + 5} > 0 \\ \sqrt{x + 5} \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x + 5 > 0 \\ x + 5 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > -5 \\ x \neq -4 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 1 $.

Используем свойство логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:
$ \log_{\sqrt{x + 5}} 3 = \frac{1}{\log_3(\sqrt{x + 5})} $.

Подставим в исходное уравнение:

$ \log_3(x - 1) \cdot \frac{1}{\log_3(\sqrt{x + 5})} = 1 $

$ \log_3(x - 1) = \log_3(\sqrt{x + 5}) $

Приравниваем аргументы логарифмов:

$ x - 1 = \sqrt{x + 5} $

Возведем обе части в квадрат. По ОДЗ $x > 1$, поэтому $x - 1 > 0$, и преобразование равносильно.

$ (x - 1)^2 = x + 5 $

$ x^2 - 2x + 1 = x + 5 $

$ x^2 - 3x - 4 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 1$):
$x_1 = 4$ — подходит.
$x_2 = -1$ — не подходит.

Ответ: $ 4 $.