Номер 10.31, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.31, страница 280.

Условие.

Решите уравнение (10.31–10.46):

10.31 a) $\sqrt[3]{x^2 + x\sqrt{x} + 7x + 27\sqrt{x} + 24} = \sqrt{x} + 3;$

б) $\sqrt[3]{x^2 + x\sqrt{x} + 27\sqrt{x} - 37} = \sqrt{x} - 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt[3]{x^2 + x\sqrt{x} + 7x + 27\sqrt{x} + 24} = \sqrt{x} + 3$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Наличие выражения $\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$.

2. Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в третью степень.
Левая часть после возведения в куб: $x^2 + x\sqrt{x} + 7x + 27\sqrt{x} + 24$.
Правая часть после возведения в куб: $(\sqrt{x} + 3)^3$.
Раскроем куб суммы по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$(\sqrt{x} + 3)^3 = (\sqrt{x})^3 + 3(\sqrt{x})^2 \cdot 3 + 3\sqrt{x} \cdot 3^2 + 3^3 = x\sqrt{x} + 9x + 27\sqrt{x} + 27$.

3. Приравняем полученные выражения:
$x^2 + x\sqrt{x} + 7x + 27\sqrt{x} + 24 = x\sqrt{x} + 9x + 27\sqrt{x} + 27$.

4. Упростим уравнение, сократив одинаковые члены ($x\sqrt{x}$ и $27\sqrt{x}$) в обеих частях:
$x^2 + 7x + 24 = 9x + 27$.

5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 7x - 9x + 24 - 27 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$.

6. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -3$.
Отсюда находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

7. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.
Корень $x = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому является посторонним.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x=3$.

Ответ: 3

б) $\sqrt[3]{x^2 + x\sqrt{x} + 27\sqrt{x} - 37} = \sqrt{x} - 3$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Наличие выражения $\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$.

2. Возведем обе части уравнения в третью степень.
Левая часть после возведения в куб: $x^2 + x\sqrt{x} + 27\sqrt{x} - 37$.
Правая часть после возведения в куб: $(\sqrt{x} - 3)^3$.
Раскроем куб разности по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$(\sqrt{x} - 3)^3 = (\sqrt{x})^3 - 3(\sqrt{x})^2 \cdot 3 + 3\sqrt{x} \cdot 3^2 - 3^3 = x\sqrt{x} - 9x + 27\sqrt{x} - 27$.

3. Приравняем полученные выражения:
$x^2 + x\sqrt{x} + 27\sqrt{x} - 37 = x\sqrt{x} - 9x + 27\sqrt{x} - 27$.

4. Упростим уравнение, сократив одинаковые члены ($x\sqrt{x}$ и $27\sqrt{x}$) в обеих частях:
$x^2 - 37 = -9x - 27$.

5. Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 + 9x - 37 + 27 = 0$
$x^2 + 9x - 10 = 0$.

6. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -9$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -10$.
Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -10$.

7. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$.
Корень $x = -10$ не удовлетворяет условию $-10 \ge 0$, поэтому является посторонним.

8. Выполним проверку для $x=1$, подставив его в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt[3]{1^2 + 1\sqrt{1} + 27\sqrt{1} - 37} = \sqrt[3]{1+1+27-37} = \sqrt[3]{29-37} = \sqrt[3]{-8} = -2$.
Правая часть: $\sqrt{1} - 3 = 1 - 3 = -2$.
Так как левая часть равна правой (-2 = -2), корень $x=1$ является верным.

Ответ: 1