Номер 10.28, страница 277 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.28, страница 277.

Условие.

10.28 a) $4^{\log_4 (2x + 1)} = x^2 + 3x - 5;$

б) $5^{\log_5 (x - 2)} = x^2 + 4x - 30;$

в) $6^{\log_6 (1 - x)} = x^2 + 3x - 20;$

г) $7^{\log_7 (2 - x)} = x^2 - 3x - 13.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $4^{\log_4(2x+1)} = x^2 + 3x - 5$.
Для решения используется основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$. Это тождество справедливо при условии, что выражение под знаком логарифма строго положительно ($b > 0$).

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля:
$2x + 1 > 0$
$2x > -1$
$x > -0.5$

2. Упростим уравнение, используя тождество:
$2x + 1 = x^2 + 3x - 5$

3. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$ и решим его:
$x^2 + 3x - 2x - 5 - 1 = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Корнями являются:
$x_1 = 2$
$x_2 = -3$

4. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > -0.5$):
- Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 > -0.5$.
- Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 \ngtr -0.5$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $2$.

б)

Исходное уравнение: $5^{\log_5(x-2)} = x^2 + 4x - 30$.
Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$.

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.
$x - 2 > 0$
$x > 2$

2. Упрощаем уравнение:
$x - 2 = x^2 + 4x - 30$

3. Решаем полученное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x - x - 30 + 2 = 0$
$x^2 + 3x - 28 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, произведение равно $-28$.
$x_1 = 4$
$x_2 = -7$

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):
- Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 > 2$.
- Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 \ngtr 2$. Это посторонний корень.

Единственное решение уравнения - это $x=4$.
Ответ: $4$.

в)

Исходное уравнение: $6^{\log_6(1-x)} = x^2 + 3x - 20$.
Используем тождество $a^{\log_a(b)} = b$.

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.
$1 - x > 0$
$x < 1$

2. Упрощаем уравнение:
$1 - x = x^2 + 3x - 20$

3. Решаем полученное квадратное уравнение:
$x^2 + 3x + x - 20 - 1 = 0$
$x^2 + 4x - 21 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, произведение равно $-21$.
$x_1 = 3$
$x_2 = -7$

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x < 1$):
- Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию, так как $3 \nless 1$. Это посторонний корень.
- Корень $x_2 = -7$ удовлетворяет условию, так как $-7 < 1$.

Таким образом, решением является $x=-7$.
Ответ: $-7$.

г)

Исходное уравнение: $7^{\log_7(2-x)} = x^2 - 3x - 13$.
Воспользуемся тождеством $a^{\log_a(b)} = b$.

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.
$2 - x > 0$
$x < 2$

2. Упрощаем уравнение:
$2 - x = x^2 - 3x - 13$

3. Решаем полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x + x - 13 - 2 = 0$
$x^2 - 2x - 15 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $2$, произведение равно $-15$.
$x_1 = 5$
$x_2 = -3$

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x < 2$):
- Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию, так как $5 \nless 2$. Это посторонний корень.
- Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию, так как $-3 < 2$.

Следовательно, решением уравнения является $x=-3$.
Ответ: $-3$.