Номер 11.23, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.23, страница 293.
№11.23 (с. 293)
Условие. №11.23 (с. 293)
скриншот условия

11.23 Докажите утверждение:
1) о потенцировании логарифмического неравенства;
2) о приведении подобных слагаемых;
3) о применении формул.
Решение 1. №11.23 (с. 293)



Решение 2. №11.23 (с. 293)


Решение 4. №11.23 (с. 293)
1) о потенцировании логарифмического неравенства
Утверждение о потенцировании логарифмического неравенства заключается в том, что переход от неравенства вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ к неравенству для выражений $f(x)$ и $g(x)$ является равносильным преобразованием, если учесть свойства монотонности логарифмической и показательной функций, а также область определения логарифма.
Рассмотрим неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства определяется условиями $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.
Доказательство основано на свойстве строгой монотонности показательной функции $y = a^t$.
Случай 1: Основание $a > 1$.
В этом случае показательная функция $y = a^t$ является строго возрастающей. Это означает, что для любых $t_1$ и $t_2$, если $t_1 > t_2$, то и $a^{t_1} > a^{t_2}$.
Применим это свойство к нашему неравенству. Возведем основание $a$ в степень, равную левой и правой частям неравенства. Так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $a^{\log_a f(x)} > a^{\log_a g(x)}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $f(x) > g(x)$
Объединяя это с ОДЗ, получаем систему, равносильную исходному неравенству: $\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$
Условие $f(x) > 0$ здесь выполняется автоматически, так как из $f(x) > g(x)$ и $g(x) > 0$ следует, что $f(x) > 0$. Обратный переход также верен: если $f(x) > g(x) > 0$, то в силу возрастания функции $y = \log_a t$ при $a > 1$ имеем $\log_a f(x) > \log_a g(x)$.
Случай 2: Основание $0 < a < 1$.
В этом случае показательная функция $y = a^t$ является строго убывающей. Это означает, что для любых $t_1$ и $t_2$, если $t_1 > t_2$, то $a^{t_1} < a^{t_2}$.
При потенцировании неравенства знак меняется на противоположный: $a^{\log_a f(x)} < a^{\log_a g(x)}$
По основному логарифмическому тождеству: $f(x) < g(x)$
С учетом ОДЗ, равносильная система будет выглядеть так: $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$
Условие $g(x) > 0$ выполняется автоматически. Обратный переход также верен в силу убывания функции $y = \log_a t$ при $0 < a < 1$.
Таким образом, операция потенцирования является корректным и обоснованным методом решения логарифмических неравенств, так как она основана на фундаментальном свойстве монотонности показательной функции.
Ответ: Утверждение о потенцировании логарифмического неравенства верно, так как оно является следствием свойства строгой монотонности показательной функции. Для $a>1$ неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$, а для $0 < a < 1$ — системе $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$.
2) о приведении подобных слагаемых
Утверждение о приведении подобных слагаемых заключается в том, что эта операция является тождественным преобразованием алгебраического выражения, то есть не изменяет его значения.
Подобными слагаемыми называются слагаемые в алгебраической сумме, имеющие одинаковую буквенную часть. Например, в выражении $5ab + 2x - 3ab$ слагаемые $5ab$ и $-3ab$ являются подобными.
Доказательство корректности этой операции основывается на распределительном свойстве (законе) умножения относительно сложения: $ac + bc = (a+b)c$.
Рассмотрим сумму двух подобных слагаемых $kx^n$ и $mx^n$, где $k$ и $m$ — числовые коэффициенты, а $x^n$ — их общая буквенная часть.
$kx^n + mx^n$
Представим буквенную часть как общий множитель и вынесем его за скобки, используя распределительный закон: $kx^n + mx^n = (k+m)x^n$
В результате мы получили одно слагаемое, коэффициент которого равен сумме коэффициентов исходных слагаемых, а буквенная часть осталась прежней. Это и есть операция приведения подобных слагаемых. Поскольку она является прямым применением аксиомы (распределительного закона), она является тождественным преобразованием. Это означает, что значение выражения до и после приведения подобных слагаемых одинаково при любых значениях входящих в него переменных.
Ответ: Утверждение о приведении подобных слагаемых верно, так как эта операция является непосредственным следствием распределительного закона умножения относительно сложения ($ac + bc = (a+b)c$), что гарантирует сохранение значения выражения.
3) о применении формул
Утверждение о применении формул заключается в том, что замена некоторой части математического выражения другой, равной ей согласно некоторой формуле, является корректным преобразованием.
В математике под "формулой" в данном контексте чаще всего понимают тождество — равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него переменных.
Примеры формул-тождеств:
- Формулы сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- Тригонометрические тождества: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
- Свойства степеней: $a^m a^n = a^{m+n}$
- Свойства логарифмов: $\log_c(ab) = \log_c a + \log_c b$ (при $a>0, b>0, c>0, c \ne 1$)
Обоснование корректности применения формул лежит в аксиоматическом свойстве равенства: если два объекта равны, то один можно заменить другим в любом контексте (принцип подстановки).
Пусть у нас есть выражение $E$, содержащее подвыражение $A$. И пусть существует формула (тождество) $A=B$. Это означает, что выражения $A$ и $B$ имеют одинаковые значения для всех переменных из их общей области определения. Согласно принципу подстановки, мы можем заменить в выражении $E$ подвыражение $A$ на $B$, получив новое выражение $E'$. Так как $A=B$, то и $E=E'$. Преобразование является тождественным.
Например, при упрощении выражения $(\sin x + \cos x)^2 - 1$ мы применяем формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $(\sin x + \cos x)^2 - 1 = (\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x) - 1$
Затем, перегруппировав слагаемые и применив формулу $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x\cos x - 1 = 1 + 2\sin x\cos x - 1 = 2\sin x\cos x$
Каждый шаг замены был основан на доказанном тождестве, поэтому итоговое выражение $2\sin x\cos x$ тождественно равно исходному.
Важно помнить, что применять формулу можно только с учетом ее области определения. Например, формула $\sqrt{x^2} = x$ верна только для $x \ge 0$, в общем случае $\sqrt{x^2} = |x|$. Некорректное применение формул без учета ОДЗ может привести к ошибкам: потере корней или появлению посторонних.
Ответ: Утверждение о применении формул верно. Оно основано на принципе подстановки для равенств: если формула представляет собой тождество (равенство, верное для всех допустимых значений переменных), то замена одной части тождества на другую в любом выражении является равносильным преобразованием, не изменяющим значения этого выражения, при условии соблюдения области определения формулы.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.23 расположенного на странице 293 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.23 (с. 293), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.