Номер 11.23, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.23, страница 293.

Условие.

11.23 Докажите утверждение:

1) о потенцировании логарифмического неравенства;

2) о приведении подобных слагаемых;

3) о применении формул.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

1) о потенцировании логарифмического неравенства

Утверждение о потенцировании логарифмического неравенства заключается в том, что переход от неравенства вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ к неравенству для выражений $f(x)$ и $g(x)$ является равносильным преобразованием, если учесть свойства монотонности логарифмической и показательной функций, а также область определения логарифма.

Рассмотрим неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства определяется условиями $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Доказательство основано на свойстве строгой монотонности показательной функции $y = a^t$.

Случай 1: Основание $a > 1$.
В этом случае показательная функция $y = a^t$ является строго возрастающей. Это означает, что для любых $t_1$ и $t_2$, если $t_1 > t_2$, то и $a^{t_1} > a^{t_2}$.
Применим это свойство к нашему неравенству. Возведем основание $a$ в степень, равную левой и правой частям неравенства. Так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $a^{\log_a f(x)} > a^{\log_a g(x)}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $f(x) > g(x)$

Объединяя это с ОДЗ, получаем систему, равносильную исходному неравенству: $\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Условие $f(x) > 0$ здесь выполняется автоматически, так как из $f(x) > g(x)$ и $g(x) > 0$ следует, что $f(x) > 0$. Обратный переход также верен: если $f(x) > g(x) > 0$, то в силу возрастания функции $y = \log_a t$ при $a > 1$ имеем $\log_a f(x) > \log_a g(x)$.

Случай 2: Основание $0 < a < 1$.
В этом случае показательная функция $y = a^t$ является строго убывающей. Это означает, что для любых $t_1$ и $t_2$, если $t_1 > t_2$, то $a^{t_1} < a^{t_2}$.
При потенцировании неравенства знак меняется на противоположный: $a^{\log_a f(x)} < a^{\log_a g(x)}$

По основному логарифмическому тождеству: $f(x) < g(x)$

С учетом ОДЗ, равносильная система будет выглядеть так: $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$

Условие $g(x) > 0$ выполняется автоматически. Обратный переход также верен в силу убывания функции $y = \log_a t$ при $0 < a < 1$.

Таким образом, операция потенцирования является корректным и обоснованным методом решения логарифмических неравенств, так как она основана на фундаментальном свойстве монотонности показательной функции.

Ответ: Утверждение о потенцировании логарифмического неравенства верно, так как оно является следствием свойства строгой монотонности показательной функции. Для $a>1$ неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$, а для $0 < a < 1$ — системе $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$.

2) о приведении подобных слагаемых

Утверждение о приведении подобных слагаемых заключается в том, что эта операция является тождественным преобразованием алгебраического выражения, то есть не изменяет его значения.

Подобными слагаемыми называются слагаемые в алгебраической сумме, имеющие одинаковую буквенную часть. Например, в выражении $5ab + 2x - 3ab$ слагаемые $5ab$ и $-3ab$ являются подобными.

Доказательство корректности этой операции основывается на распределительном свойстве (законе) умножения относительно сложения: $ac + bc = (a+b)c$.

Рассмотрим сумму двух подобных слагаемых $kx^n$ и $mx^n$, где $k$ и $m$ — числовые коэффициенты, а $x^n$ — их общая буквенная часть.

$kx^n + mx^n$

Представим буквенную часть как общий множитель и вынесем его за скобки, используя распределительный закон: $kx^n + mx^n = (k+m)x^n$

В результате мы получили одно слагаемое, коэффициент которого равен сумме коэффициентов исходных слагаемых, а буквенная часть осталась прежней. Это и есть операция приведения подобных слагаемых. Поскольку она является прямым применением аксиомы (распределительного закона), она является тождественным преобразованием. Это означает, что значение выражения до и после приведения подобных слагаемых одинаково при любых значениях входящих в него переменных.

Ответ: Утверждение о приведении подобных слагаемых верно, так как эта операция является непосредственным следствием распределительного закона умножения относительно сложения ($ac + bc = (a+b)c$), что гарантирует сохранение значения выражения.

3) о применении формул

Утверждение о применении формул заключается в том, что замена некоторой части математического выражения другой, равной ей согласно некоторой формуле, является корректным преобразованием.

В математике под "формулой" в данном контексте чаще всего понимают тождество — равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него переменных.

Примеры формул-тождеств:

• Формулы сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Тригонометрические тождества: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
• Свойства степеней: $a^m a^n = a^{m+n}$
• Свойства логарифмов: $\log_c(ab) = \log_c a + \log_c b$ (при $a>0, b>0, c>0, c \ne 1$)

Обоснование корректности применения формул лежит в аксиоматическом свойстве равенства: если два объекта равны, то один можно заменить другим в любом контексте (принцип подстановки).

Пусть у нас есть выражение $E$, содержащее подвыражение $A$. И пусть существует формула (тождество) $A=B$. Это означает, что выражения $A$ и $B$ имеют одинаковые значения для всех переменных из их общей области определения. Согласно принципу подстановки, мы можем заменить в выражении $E$ подвыражение $A$ на $B$, получив новое выражение $E'$. Так как $A=B$, то и $E=E'$. Преобразование является тождественным.

Например, при упрощении выражения $(\sin x + \cos x)^2 - 1$ мы применяем формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $(\sin x + \cos x)^2 - 1 = (\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x) - 1$

Затем, перегруппировав слагаемые и применив формулу $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x\cos x - 1 = 1 + 2\sin x\cos x - 1 = 2\sin x\cos x$

Каждый шаг замены был основан на доказанном тождестве, поэтому итоговое выражение $2\sin x\cos x$ тождественно равно исходному.

Важно помнить, что применять формулу можно только с учетом ее области определения. Например, формула $\sqrt{x^2} = x$ верна только для $x \ge 0$, в общем случае $\sqrt{x^2} = |x|$. Некорректное применение формул без учета ОДЗ может привести к ошибкам: потере корней или появлению посторонних.

Ответ: Утверждение о применении формул верно. Оно основано на принципе подстановки для равенств: если формула представляет собой тождество (равенство, верное для всех допустимых значений переменных), то замена одной части тождества на другую в любом выражении является равносильным преобразованием, не изменяющим значения этого выражения, при условии соблюдения области определения формулы.