Номер 11.27, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.27, страница 293.
№11.27 (с. 293)
Условие. №11.27 (с. 293)
скриншот условия

11.27 а) $\log_{31} (8x - 9)^2 > \log_{31} (9x - 11)^2;$
б) $\log_{\frac{1}{31}} (4x - 5)^2 > \log_{\frac{1}{31}} (5x - 7)^2.$
Решение 1. №11.27 (с. 293)


Решение 2. №11.27 (с. 293)


Решение 4. №11.27 (с. 293)
а)
Исходное неравенство: $\log_{31}(8x - 9)^2 > \log_{31}(9x - 11)^2$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
$(8x - 9)^2 > 0 \implies 8x - 9 \neq 0 \implies x \neq \frac{9}{8}$.
$(9x - 11)^2 > 0 \implies 9x - 11 \neq 0 \implies x \neq \frac{11}{9}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{9}{8}) \cup (\frac{9}{8}, \frac{11}{9}) \cup (\frac{11}{9}, +\infty)$.
2. Решим неравенство. Основание логарифма $31 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.
$(8x - 9)^2 > (9x - 11)^2$
Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(8x - 9)^2 - (9x - 11)^2 > 0$
$((8x - 9) - (9x - 11)) \cdot ((8x - 9) + (9x - 11)) > 0$
$(8x - 9 - 9x + 11) \cdot (8x - 9 + 9x - 11) > 0$
$(-x + 2)(17x - 20) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни множителей:
$-x + 2 = 0 \implies x = 2$
$17x - 20 = 0 \implies x = \frac{20}{17}$
Отметим корни на числовой оси и определим знаки на интервалах. Неравенство можно переписать в виде $(x-2)(17x-20) < 0$. График функции $y=(x-2)(17x-20)$ — парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.
Решение неравенства: $x \in (\frac{20}{17}, 2)$.
3. Совместим полученное решение с ОДЗ.
Наше решение: $(\frac{20}{17}, 2)$.
Ограничения из ОДЗ: $x \neq \frac{9}{8}$ и $x \neq \frac{11}{9}$.
Сравним числа: $\frac{9}{8} = 1.125$, $\frac{20}{17} \approx 1.176$, $\frac{11}{9} \approx 1.222$.
Число $\frac{9}{8}$ не входит в интервал $(\frac{20}{17}, 2)$, так как $\frac{9}{8} < \frac{20}{17}$.
Число $\frac{11}{9}$ входит в интервал $(\frac{20}{17}, 2)$, так как $\frac{20}{17} < \frac{11}{9} < 2$. Следовательно, эту точку нужно исключить из решения.
Итоговое решение является объединением интервалов: $(\frac{20}{17}, \frac{11}{9}) \cup (\frac{11}{9}, 2)$.
Ответ: $(\frac{20}{17}, \frac{11}{9}) \cup (\frac{11}{9}, 2)$.
б)
Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{31}}(4x - 5)^2 > \log_{\frac{1}{31}}(5x - 7)^2$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$(4x - 5)^2 > 0 \implies 4x - 5 \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{4}$.
$(5x - 7)^2 > 0 \implies 5x - 7 \neq 0 \implies x \neq \frac{7}{5}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \frac{7}{5}) \cup (\frac{7}{5}, +\infty)$.
2. Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{31}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
$(4x - 5)^2 < (5x - 7)^2$
Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов.
$(4x - 5)^2 - (5x - 7)^2 < 0$
$((4x - 5) - (5x - 7)) \cdot ((4x - 5) + (5x - 7)) < 0$
$(4x - 5 - 5x + 7) \cdot (4x - 5 + 5x - 7) < 0$
$(-x + 2)(9x - 12) < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни множителей:
$-x + 2 = 0 \implies x = 2$
$9x - 12 = 0 \implies x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$
Неравенство можно переписать в виде $(x-2)(9x-12) > 0$. График функции $y=(x-2)(9x-12)$ — парабола с ветвями вверх, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.
3. Совместим полученное решение с ОДЗ.
Наше решение: $(-\infty, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.
Ограничения из ОДЗ: $x \neq \frac{5}{4}$ и $x \neq \frac{7}{5}$.
Сравним числа: $\frac{5}{4} = 1.25$, $\frac{4}{3} \approx 1.333$, $\frac{7}{5} = 1.4$.
Число $\frac{5}{4}$ входит в интервал $(-\infty, \frac{4}{3})$, так как $\frac{5}{4} < \frac{4}{3}$. Эту точку нужно исключить.
Число $\frac{7}{5}$ не входит в множество решений $(-\infty, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$, так как $\frac{4}{3} < \frac{7}{5} < 2$.
Объединяя решение с ОДЗ, получаем: $(-\infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.27 расположенного на странице 293 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.27 (с. 293), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.