Номер 11.27, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.27, страница 293.

Условие.

11.27 а) $\log_{31} (8x - 9)^2 > \log_{31} (9x - 11)^2;$

б) $\log_{\frac{1}{31}} (4x - 5)^2 > \log_{\frac{1}{31}} (5x - 7)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство: $\log_{31}(8x - 9)^2 > \log_{31}(9x - 11)^2$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$(8x - 9)^2 > 0 \implies 8x - 9 \neq 0 \implies x \neq \frac{9}{8}$.

$(9x - 11)^2 > 0 \implies 9x - 11 \neq 0 \implies x \neq \frac{11}{9}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{9}{8}) \cup (\frac{9}{8}, \frac{11}{9}) \cup (\frac{11}{9}, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Основание логарифма $31 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.

$(8x - 9)^2 > (9x - 11)^2$

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$(8x - 9)^2 - (9x - 11)^2 > 0$

$((8x - 9) - (9x - 11)) \cdot ((8x - 9) + (9x - 11)) > 0$

$(8x - 9 - 9x + 11) \cdot (8x - 9 + 9x - 11) > 0$

$(-x + 2)(17x - 20) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни множителей:

$-x + 2 = 0 \implies x = 2$

$17x - 20 = 0 \implies x = \frac{20}{17}$

Отметим корни на числовой оси и определим знаки на интервалах. Неравенство можно переписать в виде $(x-2)(17x-20) < 0$. График функции $y=(x-2)(17x-20)$ — парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.

Решение неравенства: $x \in (\frac{20}{17}, 2)$.

3. Совместим полученное решение с ОДЗ.

Наше решение: $(\frac{20}{17}, 2)$.

Ограничения из ОДЗ: $x \neq \frac{9}{8}$ и $x \neq \frac{11}{9}$.

Сравним числа: $\frac{9}{8} = 1.125$, $\frac{20}{17} \approx 1.176$, $\frac{11}{9} \approx 1.222$.

Число $\frac{9}{8}$ не входит в интервал $(\frac{20}{17}, 2)$, так как $\frac{9}{8} < \frac{20}{17}$.

Число $\frac{11}{9}$ входит в интервал $(\frac{20}{17}, 2)$, так как $\frac{20}{17} < \frac{11}{9} < 2$. Следовательно, эту точку нужно исключить из решения.

Итоговое решение является объединением интервалов: $(\frac{20}{17}, \frac{11}{9}) \cup (\frac{11}{9}, 2)$.

Ответ: $(\frac{20}{17}, \frac{11}{9}) \cup (\frac{11}{9}, 2)$.

б)

Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{31}}(4x - 5)^2 > \log_{\frac{1}{31}}(5x - 7)^2$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$(4x - 5)^2 > 0 \implies 4x - 5 \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{4}$.

$(5x - 7)^2 > 0 \implies 5x - 7 \neq 0 \implies x \neq \frac{7}{5}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \frac{7}{5}) \cup (\frac{7}{5}, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{31}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

$(4x - 5)^2 < (5x - 7)^2$

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов.

$(4x - 5)^2 - (5x - 7)^2 < 0$

$((4x - 5) - (5x - 7)) \cdot ((4x - 5) + (5x - 7)) < 0$

$(4x - 5 - 5x + 7) \cdot (4x - 5 + 5x - 7) < 0$

$(-x + 2)(9x - 12) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни множителей:

$-x + 2 = 0 \implies x = 2$

$9x - 12 = 0 \implies x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

Неравенство можно переписать в виде $(x-2)(9x-12) > 0$. График функции $y=(x-2)(9x-12)$ — парабола с ветвями вверх, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.

3. Совместим полученное решение с ОДЗ.

Наше решение: $(-\infty, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.

Ограничения из ОДЗ: $x \neq \frac{5}{4}$ и $x \neq \frac{7}{5}$.

Сравним числа: $\frac{5}{4} = 1.25$, $\frac{4}{3} \approx 1.333$, $\frac{7}{5} = 1.4$.

Число $\frac{5}{4}$ входит в интервал $(-\infty, \frac{4}{3})$, так как $\frac{5}{4} < \frac{4}{3}$. Эту точку нужно исключить.

Число $\frac{7}{5}$ не входит в множество решений $(-\infty, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$, так как $\frac{4}{3} < \frac{7}{5} < 2$.

Объединяя решение с ОДЗ, получаем: $(-\infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.