Страница 266 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

9.72* a) $\sqrt{\log_2 \frac{x-1}{x} + \lg \left(\log_2 \frac{x-1}{x}\right)} < \sqrt{\log_2 \frac{1}{x} + \lg \left(\log_2 \frac{1}{x}\right)};$

б) $\sqrt{\log_3 \frac{3}{x} + \log_3 7 \cdot \log_7 \frac{3}{x}} > \sqrt{\log_3 \frac{5-2x}{x} + \log_3 7 \cdot \log_7 \frac{5-2x}{x}};$

В) $\sqrt[4]{3x-2 + \log_7 (3x-2) + 3^{\frac{3x-2}{4}}} > \sqrt[4]{-2x+3 + \log_7 (-2x+3) + 3^{\frac{-2x+3}{4}}}.$

а)

Исходное неравенство:

$\sqrt{\log_2{\frac{x-1}{x}} + \lg\left(\log_2{\frac{x-1}{x}}\right)} < \sqrt{\log_2{\frac{1}{x}} + \lg\left(\log_2{\frac{1}{x}}\right)}$

Рассмотрим функцию $f(y) = \sqrt{y + \lg y}$. Неравенство имеет вид $\sqrt{f(a)} < \sqrt{f(b)}$, где $a = \log_2{\frac{x-1}{x}}$ и $b = \log_2{\frac{1}{x}}$.

Перепишем неравенство, используя новую функцию $g(t) = \sqrt{\log_2 t + \lg(\log_2 t)}$. Тогда неравенство примет вид $g\left(\frac{x-1}{x}\right) < g\left(\frac{1}{x}\right)$.

Найдем область определения функции $g(t)$.

1. Аргумент внешнего логарифма должен быть положителен: $\log_2 t > 0$, что равносильно $t > 1$.

2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_2 t + \lg(\log_2 t) \ge 0$.

Пусть $u = \log_2 t$. Так как $t > 1$, то $u > 0$. Неравенство принимает вид $u + \lg u \ge 0$.

Функция $\phi(u) = u + \lg u$ является строго возрастающей при $u > 0$, так как ее производная $\phi'(u) = 1 + \frac{1}{u \ln 10} > 0$.

Уравнение $\phi(u) = 0$ имеет единственный корень $u_0$. Заметим, что $\phi(0.1) = 0.1-1=-0.9 < 0$ и $\phi(1)=1+0=1>0$, следовательно $0.1 < u_0 < 1$.

Таким образом, условие $u + \lg u \ge 0$ выполняется при $u \ge u_0$, то есть $\log_2 t \ge u_0$, откуда $t \ge 2^{u_0}$.

Область определения функции $g(t)$ есть $t \in [2^{u_0}, +\infty)$.

Функция $g(t)$ является композицией возрастающих функций, поэтому она строго возрастает на своей области определения. Следовательно, неравенство $g\left(\frac{x-1}{x}\right) < g\left(\frac{1}{x}\right)$ равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x-1}{x} < \frac{1}{x} \\ \frac{x-1}{x} \ge 2^{u_0} \\ \frac{1}{x} \ge 2^{u_0} \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\frac{x-1-1}{x} < 0 \implies \frac{x-2}{x} < 0$. Методом интервалов получаем $x \in (0, 2)$.

Решим третье неравенство: $\frac{1}{x} \ge 2^{u_0}$. Так как $x \in (0, 2)$, то $x>0$. Умножим на $x$: $1 \ge x \cdot 2^{u_0}$, откуда $x \le \frac{1}{2^{u_0}}$. Так как $0 < u_0 < 1$, то $1 < 2^{u_0} < 2$, и $1/2 < 1/2^{u_0} < 1$. С учетом $x>0$, получаем $x \in (0, \frac{1}{2^{u_0}}]$.

Решим второе неравенство: $\frac{x-1}{x} \ge 2^{u_0}$, что можно записать как $1 - \frac{1}{x} \ge 2^{u_0}$.

Из третьего неравенства мы имеем $\frac{1}{x} \ge 2^{u_0}$. Тогда $-\frac{1}{x} \le -2^{u_0}$, и $1 - \frac{1}{x} \le 1 - 2^{u_0}$.

Таким образом, мы получили, что выражение $\frac{x-1}{x}$ должно удовлетворять двум условиям одновременно: $\frac{x-1}{x} \ge 2^{u_0}$ и $\frac{x-1}{x} \le 1-2^{u_0}$.

Это означает, что должно выполняться неравенство $2^{u_0} \le 1 - 2^{u_0}$. Однако, $2^{u_0} > 1$, поэтому $1 - 2^{u_0} < 0$. Неравенство $2^{u_0} \le 1 - 2^{u_0}$ не может выполняться, так как положительное число не может быть меньше или равно отрицательному. Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Исходное неравенство:

$\sqrt{\log_3{\frac{3}{x}} + \log_3 7 \cdot \log_7{\frac{3}{x}}} > \sqrt{\log_3{\frac{5-2x}{x}} + \log_3 7 \cdot \log_7{\frac{5-2x}{x}}}$

Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.

Тогда $\log_3 7 \cdot \log_7{\frac{3}{x}} = \log_3{\frac{3}{x}}$ и $\log_3 7 \cdot \log_7{\frac{5-2x}{x}} = \log_3{\frac{5-2x}{x}}$.

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{\log_3{\frac{3}{x}} + \log_3{\frac{3}{x}}} > \sqrt{\log_3{\frac{5-2x}{x}} + \log_3{\frac{5-2x}{x}}}$

$\sqrt{2\log_3{\frac{3}{x}}} > \sqrt{2\log_3{\frac{5-2x}{x}}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 2\log_3{\frac{3}{x}} \ge 0 \\ 2\log_3{\frac{5-2x}{x}} \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \log_3{\frac{3}{x}} \ge 0 \\ \log_3{\frac{5-2x}{x}} \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{3}{x} \ge 1 \\ \frac{5-2x}{x} \ge 1 \end{cases}$

Решаем систему:

1. $\frac{3}{x} - 1 \ge 0 \implies \frac{3-x}{x} \ge 0 \implies x \in (0, 3]$.

2. $\frac{5-2x}{x} - 1 \ge 0 \implies \frac{5-3x}{x} \ge 0 \implies x \in (0, 5/3]$.

Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in (0, 5/3]$.

На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$2\log_3{\frac{3}{x}} > 2\log_3{\frac{5-2x}{x}}$

$\log_3{\frac{3}{x}} > \log_3{\frac{5-2x}{x}}$

Так как функция $y=\log_3 t$ является возрастающей, то неравенство равносильно:

$\frac{3}{x} > \frac{5-2x}{x}$

Поскольку на ОДЗ $x > 0$, можно умножить обе части на $x$:

$3 > 5-2x$

$2x > 2$

$x > 1$

Найдем пересечение полученного решения $x > 1$ с ОДЗ $x \in (0, 5/3]$:

$x \in (1, 5/3]$.

Ответ: $(1, 5/3]$.

в)

Исходное неравенство:

$\sqrt[4]{3x-2 + \log_7(3x-2) + 3^{\frac{3x-2}{4}}} > \sqrt[4]{-2x+3 + \log_7(-2x+3) + 3^{\frac{-2x+3}{4}}}$

Рассмотрим функцию $f(t) = t + \log_7(t) + 3^{t/4}$.

Тогда неравенство можно записать в виде $\sqrt[4]{f(3x-2)} > \sqrt[4]{f(-2x+3)}$.

Найдем область определения функции $f(t)$. Логарифм $\log_7(t)$ определен при $t > 0$. Таким образом, $D(f) = (0, \infty)$.

Исследуем функцию на монотонность. Найдем производную:

$f'(t) = 1 + \frac{1}{t \ln 7} + 3^{t/4} \cdot \ln 3 \cdot \frac{1}{4}$.

При $t>0$ все слагаемые в производной положительны ($1>0$, $\frac{1}{t \ln 7}>0$, $3^{t/4} \cdot \ln 3 \cdot \frac{1}{4}>0$), поэтому $f'(t)>0$ на всей области определения. Следовательно, функция $f(t)$ строго возрастает.

Функция $y = \sqrt[4]{z}$ также является возрастающей для $z \ge 0$. Поэтому исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} f(3x-2) > f(-2x+3) \\ f(-2x+3) \ge 0 \end{cases}$

(Условие $f(3x-2) \ge 0$ будет выполнено автоматически, так как $f(3x-2) > f(-2x+3) \ge 0$).

Так как $f(t)$ строго возрастает, неравенство $f(3x-2) > f(-2x+3)$ равносильно $3x-2 > -2x+3$, при условии, что оба аргумента принадлежат области определения $f(t)$.

Решим систему условий:

1. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$\begin{cases} 3x-2 > 0 \\ -2x+3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2/3 \\ x < 3/2 \end{cases} \implies x \in (2/3, 3/2)$.

2. Решим основное неравенство, вытекающее из монотонности:

$3x-2 > -2x+3 \implies 5x > 5 \implies x > 1$.

Объединяя условия 1 и 2, получаем: $x \in (1, 3/2)$.

3. Проверим условие неотрицательности $f(-2x+3) \ge 0$ для $x \in (1, 3/2)$.

Пусть $b = -2x+3$. Если $x \in (1, 3/2)$, то $b \in (0, 1)$.

Рассмотрим функцию $f(b) = b + \log_7(b) + 3^{b/4}$ на интервале $(0, 1)$.

На этом интервале $b>0$, $3^{b/4}>0$, но $\log_7(b)<0$.

При $b \to 0^+$, $f(b) \to -\infty$. При $b=1$, $f(1) = 1+0+3^{1/4} > 0$.

Так как $f(b)$ непрерывна и возрастает на $(0, \infty)$, существует единственное значение $t_0 \in (0,1)$, такое что $f(t_0)=0$. Условие $f(b) \ge 0$ выполняется при $b \ge t_0$.

Таким образом, мы должны решить неравенство $-2x+3 \ge t_0$.

$3-t_0 \ge 2x \implies x \le \frac{3-t_0}{2}$.

Теперь объединим все найденные условия для $x$:

$\begin{cases} x > 1 \\ x < 3/2 \\ x \le \frac{3-t_0}{2} \end{cases}$

Так как $t_0 \in (0,1)$, то $\frac{3-t_0}{2}$ будет меньше, чем $3/2$. Следовательно, условие $x<3/2$ избыточно.

Итоговое решение: $1 < x \le \frac{3-t_0}{2}$, где $t_0$ — корень уравнения $t + \log_7(t) + 3^{t/4}=0$.

Ответ: $(1, \frac{3-t_0}{2}]$, где $t_0$ — корень уравнения $t + \log_7 t + 3^{t/4} = 0$.

9.73* a) $\sqrt[5]{x+2} + \pi^{x+2} > \sqrt[5]{\frac{x-1}{2x}} + \pi^{\frac{x-1}{2x}}$;

б) $(\pi-3)^{x-5} - \sqrt[3]{x-5} > (\pi-3)^{\frac{x-9}{2x}} - \sqrt[3]{\frac{x-9}{2x}}$.

Исходное неравенство: $ \sqrt[5]{x+2} + \pi^{x+2} > \sqrt[5]{\frac{x-1}{2x}} + \pi^{\frac{x-1}{2x}} $.

Рассмотрим функцию $ f(t) = \sqrt[5]{t} + \pi^t $. Тогда неравенство можно переписать в виде $ f(x+2) > f\left(\frac{x-1}{2x}\right) $.

Исследуем функцию $ f(t) $ на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$ f'(t) = (\sqrt[5]{t} + \pi^t)' = (t^{1/5})' + (\pi^t)' = \frac{1}{5}t^{-4/5} + \pi^t \ln(\pi) = \frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}} + \pi^t \ln(\pi) $.

Оценим знак производной. Так как $ \pi \approx 3.14 > 1 $, то $ \ln(\pi) > 0 $. Также $ \pi^t > 0 $ для любого $ t $. Значит, слагаемое $ \pi^t \ln(\pi) $ всегда положительно. Первое слагаемое $ \frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}} $ также всегда положительно при $ t \neq 0 $, так как $ t^4 \ge 0 $. Следовательно, $ f'(t) > 0 $ для всех $ t $ из области определения производной ($ t \neq 0 $).

Поскольку функция $ f(t) $ непрерывна на всей числовой оси и ее производная положительна всюду, кроме точки $ t=0 $, функция $ f(t) $ является строго возрастающей на всей области определения $ \mathbb{R} $.

Для строго возрастающей функции неравенство $ f(u) > f(v) $ равносильно неравенству $ u > v $. В нашем случае $ u = x+2 $ и $ v = \frac{x-1}{2x} $. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$ x+2 > \frac{x-1}{2x} $

Прежде чем решать, определим область допустимых значений (ОДЗ) для исходного неравенства. Выражения под корнем нечетной степени и показательные функции определены для любых действительных значений аргументов. Единственное ограничение накладывает знаменатель дроби в аргументе функции: $ 2x \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $.

Решим полученное рациональное неравенство:

$ x+2 - \frac{x-1}{2x} > 0 $

$ \frac{2x(x+2) - (x-1)}{2x} > 0 $

$ \frac{2x^2 + 4x - x + 1}{2x} > 0 $

$ \frac{2x^2 + 3x + 1}{2x} > 0 $

Найдем корни числителя $ 2x^2 + 3x + 1 = 0 $. Дискриминант $ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 $. Корни: $ x_1 = \frac{-3-1}{4} = -1 $, $ x_2 = \frac{-3+1}{4} = -\frac{1}{2} $.

Неравенство принимает вид: $ \frac{2(x+1)(x+1/2)}{2x} > 0 $, или $ \frac{(x+1)(x+1/2)}{x} > 0 $.

Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя и знаменателя: $ -1 $, $ -1/2 $, $ 0 $.

- При $ x > 0 $: $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $. Интервал $ (0, \infty) $ является решением.
- При $ -1/2 < x < 0 $: $ \frac{(+)(+)}{(-)} < 0 $.
- При $ -1 < x < -1/2 $: $ \frac{(+)(-)}{(-)} > 0 $. Интервал $ (-1, -1/2) $ является решением.
- При $ x < -1 $: $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение $ x \in (-1, -1/2) \cup (0, \infty) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 0 $).

Ответ: $ x \in (-1; -1/2) \cup (0; \infty) $.

Исходное неравенство: $ (\pi-3)^{x-5} - \sqrt[3]{x-5} > (\pi-3)^{\frac{x-9}{2x}} - \sqrt[3]{\frac{x-9}{2x}} $.

Рассмотрим функцию $ g(t) = (\pi-3)^t - \sqrt[3]{t} $. Тогда неравенство можно переписать в виде $ g(x-5) > g\left(\frac{x-9}{2x}\right) $.

Исследуем функцию $ g(t) $ на монотонность. Найдем ее производную:

$ g'(t) = ((\pi-3)^t - t^{1/3})' = ((\pi-3)^t)' - (t^{1/3})' = (\pi-3)^t \ln(\pi-3) - \frac{1}{3}t^{-2/3} = (\pi-3)^t \ln(\pi-3) - \frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}} $.

Оценим знак производной. Основание показательной функции $ \pi-3 \approx 3.14 - 3 = 0.14 $. Так как $ 0 < \pi-3 < 1 $, то $ \ln(\pi-3) < 0 $. Выражение $ (\pi-3)^t $ всегда положительно. Следовательно, первое слагаемое $ (\pi-3)^t \ln(\pi-3) $ всегда отрицательно.

Второе слагаемое $ -\frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}} $ также всегда отрицательно при $ t \neq 0 $, так как $ \sqrt[3]{t^2} > 0 $.

Таким образом, $ g'(t) $ является суммой двух отрицательных слагаемых, а значит $ g'(t) < 0 $ для всех $ t \neq 0 $. Поскольку функция $ g(t) $ непрерывна на всей числовой оси, она является строго убывающей на $ \mathbb{R} $.

Для строго убывающей функции неравенство $ g(u) > g(v) $ равносильно неравенству $ u < v $. В нашем случае $ u = x-5 $ и $ v = \frac{x-9}{2x} $. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$ x-5 < \frac{x-9}{2x} $

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства определяется знаменателем дроби в аргументе функции: $ 2x \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $.

Решим полученное рациональное неравенство:

$ x-5 - \frac{x-9}{2x} < 0 $

$ \frac{2x(x-5) - (x-9)}{2x} < 0 $

$ \frac{2x^2 - 10x - x + 9}{2x} < 0 $

$ \frac{2x^2 - 11x + 9}{2x} < 0 $

Найдем корни числителя $ 2x^2 - 11x + 9 = 0 $. Дискриминант $ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 $. Корни: $ x_1 = \frac{11 - 7}{4} = 1 $, $ x_2 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} $.

Неравенство принимает вид: $ \frac{2(x-1)(x-9/2)}{2x} < 0 $, или $ \frac{(x-1)(x-9/2)}{x} < 0 $.

Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя и знаменателя: $ 0 $, $ 1 $, $ 9/2 $.

- При $ x > 9/2 $: $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $.
- При $ 1 < x < 9/2 $: $ \frac{(+)(-)}{(+)} < 0 $. Интервал $ (1, 9/2) $ является решением.
- При $ 0 < x < 1 $: $ \frac{(-)(-)}{(+)} > 0 $.
- При $ x < 0 $: $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $. Интервал $ (-\infty, 0) $ является решением.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, 9/2) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 0 $).

Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (1; 9/2) $.