Страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

3.6 а) Какие функции называют взаимно обратными? Какими свойствами обладают взаимно обратные функции?

б) Каким свойством обладают графики взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = \varphi (x)$?

в) В чём заключается достаточное условие существования функции, обратной к данной непрерывной функции?

а) Функцию $y = g(x)$, определенную на множестве $Y$, называют обратной к функции $y = f(x)$, определенной на множестве $X$ и имеющей множество значений $Y$, если для любого $x$ из области определения $f$ выполняется равенство $g(f(x)) = x$ и для любого $y$ из области значений $f$ (которая является областью определения $g$) выполняется равенство $f(g(y)) = y$. Функции $f(x)$ и $g(x)$ в этом случае называют взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций:
1. Область определения прямой функции ($D(f)$) совпадает с областью значений обратной функции ($E(g)$), то есть $D(f) = E(g)$.
2. Область значений прямой функции ($E(f)$) совпадает с областью определения обратной функции ($D(g)$), то есть $E(f) = D(g)$.
3. Если функция $f(x)$ возрастает (убывает) на некотором промежутке, то и обратная к ней функция $g(x)$ также возрастает (убывает) на соответствующем промежутке.
4. Если функция имеет обратную, то она единственна.

Ответ: Функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ называются взаимно обратными, если выполняются тождества $g(f(x))=x$ и $f(g(x))=x$. Их основные свойства: области определения и значений меняются местами; сохраняется характер монотонности (возрастание/убывание).

б) Графики взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = \phi(x)$ симметричны друг другу относительно прямой $y = x$, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Это свойство вытекает из определения обратной функции: если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$, то есть $b = f(a)$, то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику обратной функции $y = \phi(x)$, так как $a = \phi(b)$. Точки $(a, b)$ и $(b, a)$ являются симметричными относительно прямой $y=x$.

Ответ: Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$.

в) Достаточное условие существования функции, обратной к данной непрерывной на некотором промежутке функции $y = f(x)$, заключается в её строгой монотонности на этом промежутке. Иными словами, если непрерывная функция на промежутке $I$ только возрастает или только убывает, то она является обратимой. Это гарантирует, что каждому значению $y$ из области значений функции соответствует единственное значение $x$ из её области определения.

Ответ: Достаточным условием существования обратной функции для непрерывной функции является её строгая монотонность (строгое возрастание или строгое убывание) на всей области определения.

3.7 Найдите функцию $x = \varphi(y)$, обратную к функции:

а) $y = x^4, x \in [0; +\infty);$

б) $y = x^4; x \in (-\infty; 0];$

в) $y = x^{2m}, x \in (0; +\infty), m \in N;$

г) $y = x^{2m}, x \in (-\infty; 0], m \in N;$

д) $y = x^{2m+1}, x \in (-\infty; +\infty), m \in N;$

е) $y = a^x, x \in (-\infty; +\infty), a > 0, a \ne 1.$

а) Дана функция $y = x^4$ с областью определения $x \in [0; +\infty)$. На этом промежутке функция является монотонно возрастающей, а значит, обратимой. Область значений функции на данном промежутке $y \in [0; +\infty)$. Для нахождения обратной функции $x = \phi(y)$ выразим $x$ из данного уравнения.
$y = x^4$
Извлекаем корень четвертой степени из обеих частей: $\sqrt[4]{y} = \sqrt[4]{x^4} = |x|$.
Так как по условию $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Следовательно, обратная функция $x = \sqrt[4]{y}$. Областью определения этой функции является $y \in [0; +\infty)$.
Ответ: $x = \sqrt[4]{y}$.

б) Дана функция $y = x^4$ с областью определения $x \in (-\infty; 0]$. На этом промежутке функция является монотонно убывающей, а значит, обратимой. Область значений функции на данном промежутке $y \in [0; +\infty)$. Выразим $x$ из уравнения.
$y = x^4$
Извлекаем корень четвертой степени: $\sqrt[4]{y} = |x|$.
Так как по условию $x \le 0$, то $|x| = -x$.
Получаем $-x = \sqrt[4]{y}$, откуда $x = -\sqrt[4]{y}$.
Областью определения обратной функции является $y \in [0; +\infty)$.
Ответ: $x = -\sqrt[4]{y}$.

в) Дана функция $y = x^{2m}$, где $m \in N$, с областью определения $x \in (0; +\infty)$. Так как $2m$ — четное число, эта задача является обобщением задачи а). На промежутке $(0; +\infty)$ функция монотонно возрастает. Область значений $y \in (0; +\infty)$.
$y = x^{2m}$
Извлекаем корень степени $2m$: $\sqrt[2m]{y} = |x|$.
Поскольку $x > 0$, то $|x| = x$.
Следовательно, $x = \sqrt[2m]{y}$.
Ответ: $x = \sqrt[2m]{y}$.

г) Дана функция $y = x^{2m}$, где $m \in N$, с областью определения $x \in (-\infty; 0]$. Так как $2m$ — четное число, эта задача является обобщением задачи б). На промежутке $(-\infty; 0]$ функция монотонно убывает. Область значений $y \in [0; +\infty)$.
$y = x^{2m}$
Извлекаем корень степени $2m$: $\sqrt[2m]{y} = |x|$.
Поскольку $x \le 0$, то $|x| = -x$.
Отсюда $-x = \sqrt[2m]{y}$, то есть $x = -\sqrt[2m]{y}$.
Ответ: $x = -\sqrt[2m]{y}$.

д) Дана функция $y = x^{2m+1}$, где $m \in N$, с областью определения $x \in (-\infty; +\infty)$. Показатель степени $2m+1$ является нечетным числом. Функция с нечетным натуральным показателем степени является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Область ее значений также вся числовая ось, т.е. $y \in (-\infty; +\infty)$.
$y = x^{2m+1}$
Извлекаем корень нечетной степени $2m+1$. Для нечетных корней нет ограничений на знак подкоренного выражения.
$x = \sqrt[2m+1]{y}$.
Ответ: $x = \sqrt[2m+1]{y}$.

е) Дана функция $y = a^x$, где $a > 0, a \neq 1$, с областью определения $x \in (-\infty; +\infty)$. Это показательная функция. Она является монотонной на всей области определения (возрастает при $a > 1$, убывает при $0 < a < 1$). Область значений показательной функции $y \in (0; +\infty)$.
Обратной к показательной функции является логарифмическая функция. По определению логарифма, из $y = a^x$ следует, что $x$ есть логарифм $y$ по основанию $a$.
$x = \log_a y$.
Область определения логарифмической функции $y > 0$, что совпадает с областью значений исходной функции.
Ответ: $x = \log_a y$.

Постройте график данной функции $y = f(x)$. Найдите функцию $y = \varphi (x)$, обратную к данной функции, и постройте её график

(3.8–3.9):

3.8 a) $y = \frac{4}{x - 2}$, $x \in (2; +\infty)$

б) $y = \frac{-4}{x - 2}$, $x \in (-\infty; 2)$

в) $y = 1 - \frac{6}{x + 2}$, $x \in (-2; +\infty)$

г) $y = 1 + \frac{6}{x - 4}$, $x \in (-\infty; 4)$

д) $y = \frac{1}{1 + x^2}$, $x \in [0; +\infty)$

е) $y = \frac{1}{1 + x^2}$, $x \in (-\infty; 0]$

а)

Дана функция $y = f(x) = \frac{4}{x-2}$ с областью определения $D(f) = (2; +\infty)$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это часть гиперболы. Его можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо. Асимптоты графика: вертикальная – прямая $x=2$, горизонтальная – прямая $y=0$ (ось Ox). Так как область определения $x > 2$, мы рассматриваем только правую ветвь гиперболы. Эта ветвь целиком лежит в первой четверти относительно своих асимптот. Функция убывает на всей области определения. При $x \to 2^+$, $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 0$. Несколько точек для построения: $(3, 4)$, $(4, 2)$, $(6, 1)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Сначала найдем область значений исходной функции $E(f)$. Поскольку $x \in (2; +\infty)$, то $x-2 \in (0; +\infty)$, и, следовательно, $y = \frac{4}{x-2} \in (0; +\infty)$. Итак, $E(f) = (0; +\infty)$. Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \frac{4}{x-2}$: $y(x-2) = 4 \implies x-2 = \frac{4}{y} \implies x = 2 + \frac{4}{y}$. Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить функцию $\phi(x)$: $y = 2 + \frac{4}{x}$. Итак, обратная функция $y = \phi(x) = 2 + \frac{4}{x}$. Область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $D(\phi) = (0; +\infty)$. Область значений обратной функции $E(\phi)$ совпадает с областью определения исходной функции $D(f)$, то есть $E(\phi) = (2; +\infty)$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = 2 + \frac{4}{x}$ – это тоже гипербола, полученная из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх. Асимптоты: вертикальная – прямая $x=0$ (ось Oy), горизонтальная – прямая $y=2$. Учитывая область определения $D(\phi) = (0; +\infty)$, мы строим правую ветвь гиперболы. Она лежит выше горизонтальной асимптоты $y=2$. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 2$. Несколько точек для построения: $(1, 6)$, $(2, 4)$, $(4, 3)$. График обратной функции $y = \phi(x)$ симметричен графику исходной функции $y = f(x)$ относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = 2 + \frac{4}{x}$, ее область определения $D(\phi) = (0; +\infty)$. График исходной функции - правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=2, y=0$. График обратной функции - правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=0, y=2$.

б)

Дана функция $y = f(x) = \frac{-4}{x-2}$ с областью определения $D(f) = (-\infty; 2)$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это часть гиперболы. Его можно получить из графика функции $y = \frac{-4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо. Асимптоты графика: вертикальная – прямая $x=2$, горизонтальная – прямая $y=0$ (ось Ox). Так как область определения $x < 2$, мы рассматриваем только левую ветвь гиперболы. Эта ветвь целиком лежит во второй четверти относительно своих асимптот. Функция возрастает на всей области определения. При $x \to 2^-$, $y \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. Несколько точек для построения: $(0, 2)$, $(-2, 1)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Сначала найдем область значений исходной функции $E(f)$. Поскольку $x \in (-\infty; 2)$, то $x-2 \in (-\infty; 0)$, и, следовательно, $y = \frac{-4}{x-2} \in (0; +\infty)$. Итак, $E(f) = (0; +\infty)$. Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \frac{-4}{x-2}$: $y(x-2) = -4 \implies x-2 = -\frac{4}{y} \implies x = 2 - \frac{4}{y}$. Теперь поменяем местами $x$ и $y$: $y = 2 - \frac{4}{x}$. Итак, обратная функция $y = \phi(x) = 2 - \frac{4}{x}$. Область определения обратной функции $D(\phi) = E(f) = (0; +\infty)$. Область значений $E(\phi) = D(f) = (-\infty; 2)$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = 2 - \frac{4}{x}$ – это гипербола, полученная из графика $y = -\frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх. Асимптоты: вертикальная – $x=0$, горизонтальная – $y=2$. Учитывая область определения $D(\phi) = (0; +\infty)$, мы строим правую ветвь гиперболы. Она лежит ниже горизонтальной асимптоты $y=2$. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 2$. Несколько точек для построения: $(2, 0)$, $(4, 1)$. График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = 2 - \frac{4}{x}$, ее область определения $D(\phi) = (0; +\infty)$. График исходной функции - левая ветвь гиперболы ($y=\frac{-4}{x-2}$) с асимптотами $x=2, y=0$. График обратной функции - правая ветвь гиперболы ($y=2-\frac{4}{x}$) с асимптотами $x=0, y=2$.

в)

Дана функция $y = f(x) = 1 - \frac{6}{x+2}$ с областью определения $D(f) = (-2; +\infty)$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это часть гиперболы, которую можно записать как $y-1 = \frac{-6}{x+2}$. Его можно получить из графика $y = \frac{-6}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх. Асимптоты: вертикальная – $x=-2$, горизонтальная – $y=1$. Так как $x > -2$, мы рассматриваем правую ветвь. Эта ветвь целиком лежит в четвертой четверти относительно своих асимптот. Функция возрастает на всей области определения. При $x \to -2^+$, $y \to -\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 1$. Точки для построения: $(0, -2)$, $(4, 0)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Найдем область значений $E(f)$. При $x \in (-2; +\infty)$, $x+2 \in (0; +\infty)$, $\frac{6}{x+2} \in (0; +\infty)$, $-\frac{6}{x+2} \in (-\infty; 0)$. Тогда $y = 1 - \frac{6}{x+2} \in (-\infty; 1)$. Итак, $E(f) = (-\infty; 1)$. Выразим $x$ через $y$: $y-1 = -\frac{6}{x+2} \implies 1-y = \frac{6}{x+2} \implies x+2 = \frac{6}{1-y} \implies x = \frac{6}{1-y} - 2$. Меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{6}{1-x} - 2$. Обратная функция $y = \phi(x) = \frac{6}{1-x} - 2 = \frac{-6}{x-1} - 2$. Область определения $D(\phi) = E(f) = (-\infty; 1)$. Область значений $E(\phi) = D(f) = (-2; +\infty)$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = \frac{-6}{x-1} - 2$ – это гипербола, полученная из $y = \frac{-6}{x}$ сдвигом на 1 вправо и на 2 вниз. Асимптоты: $x=1$ и $y=-2$. С областью определения $D(\phi) = (-\infty; 1)$ строим левую ветвь, которая лежит во второй четверти относительно асимптот. При $x \to 1^-$, $y \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to -2$. Точки для построения: $(0, -8)$, $(-2, 0)$. График $\phi(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = \frac{6}{1-x} - 2$, ее область определения $D(\phi) = (-\infty; 1)$. График исходной функции - правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=-2, y=1$. График обратной функции - левая ветвь гиперболы с асимптотами $x=1, y=-2$.

г)

Дана функция $y = f(x) = 1 + \frac{6}{x-4}$ с областью определения $D(f) = (-\infty; 4)$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это часть гиперболы $y-1 = \frac{6}{x-4}$. Его можно получить из графика $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 4 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Асимптоты: вертикальная – $x=4$, горизонтальная – $y=1$. Так как $x < 4$, мы рассматриваем левую ветвь. Эта ветвь целиком лежит в третьей четверти относительно своих асимптот. Функция убывает на всей области определения. При $x \to 4^-$, $y \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to 1$. Точки для построения: $(0, -0.5)$, $(-2, 0)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Найдем область значений $E(f)$. При $x \in (-\infty; 4)$, $x-4 \in (-\infty; 0)$, $\frac{6}{x-4} \in (-\infty; 0)$. Тогда $y = 1 + \frac{6}{x-4} \in (-\infty; 1)$. Итак, $E(f) = (-\infty; 1)$. Выразим $x$ через $y$: $y-1 = \frac{6}{x-4} \implies x-4 = \frac{6}{y-1} \implies x = 4 + \frac{6}{y-1}$. Меняем местами $x$ и $y$: $y = 4 + \frac{6}{x-1}$. Обратная функция $y = \phi(x) = 4 + \frac{6}{x-1}$. Область определения $D(\phi) = E(f) = (-\infty; 1)$. Область значений $E(\phi) = D(f) = (-\infty; 4)$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = 4 + \frac{6}{x-1}$ – это гипербола, полученная из $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 1 вправо и на 4 вверх. Асимптоты: $x=1$ и $y=4$. С областью определения $D(\phi) = (-\infty; 1)$ строим левую ветвь, которая лежит в третьей четверти относительно асимптот. При $x \to 1^-$, $y \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to 4$. Точки для построения: $(0, -2)$, $(-0.5, 0)$. График $\phi(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = 4 + \frac{6}{x-1}$, ее область определения $D(\phi) = (-\infty; 1)$. График исходной функции - левая ветвь гиперболы с асимптотами $x=4, y=1$. График обратной функции - левая ветвь гиперболы с асимптотами $x=1, y=4$.

д)

Дана функция $y = f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ с областью определения $D(f) = [0; +\infty)$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это правая часть кривой, известной как "локон Аньези". Горизонтальная асимптота $y=0$. Вертикальных асимптот нет. На промежутке $[0; +\infty)$ функция убывает. Максимальное значение достигается при $x=0$, $y=1$. При $x \to +\infty$, $y \to 0$. График начинается в точке $(0, 1)$ и плавно спускается, приближаясь к оси Ox. Точки для построения: $(0, 1)$, $(1, 1/2)$, $(2, 1/5)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Найдем область значений $E(f)$. При $x \in [0; +\infty)$, $x^2 \in [0; +\infty)$, $1+x^2 \in [1; +\infty)$. Тогда $y = \frac{1}{1+x^2} \in (0; 1]$. Итак, $E(f) = (0; 1]$. Выразим $x$ через $y$: $1+x^2 = \frac{1}{y} \implies x^2 = \frac{1}{y} - 1 \implies x = \sqrt{\frac{1-y}{y}}$. Мы берем положительный корень, так как область определения исходной функции $D(f) = [0; +\infty)$, а это область значений для обратной функции. Меняем местами $x$ и $y$: $y = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$. Обратная функция $y = \phi(x) = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$. Область определения $D(\phi) = E(f) = (0; 1]$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = \phi(x)$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$. График определен для $x \in (0; 1]$. В точке $x=1$ значение функции $y=0$. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. График начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ вверху и опускается до точки $(1, 0)$ на оси Ox. График $\phi(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$, ее область определения $D(\phi) = (0; 1]$.

е)

Дана функция $y = f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ с областью определения $D(f) = (-\infty; 0]$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это левая часть "локона Аньези". Горизонтальная асимптота $y=0$. Вертикальных асимптот нет. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция возрастает. Максимальное значение достигается при $x=0$, $y=1$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. График начинается от оси Ox слева и плавно поднимается до точки $(0, 1)$. Точки для построения: $(0, 1)$, $(-1, 1/2)$, $(-2, 1/5)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Найдем область значений $E(f)$. При $x \in (-\infty; 0]$, $x^2 \in [0; +\infty)$, $1+x^2 \in [1; +\infty)$. Тогда $y = \frac{1}{1+x^2} \in (0; 1]$. Итак, $E(f) = (0; 1]$. Выразим $x$ через $y$: $1+x^2 = \frac{1}{y} \implies x^2 = \frac{1}{y} - 1 \implies x = -\sqrt{\frac{1-y}{y}}$. Мы берем отрицательный корень, так как область определения исходной функции $D(f) = (-\infty; 0]$, а это область значений для обратной функции. Меняем местами $x$ и $y$: $y = -\sqrt{\frac{1-x}{x}}$. Обратная функция $y = \phi(x) = -\sqrt{\frac{1-x}{x}}$. Область определения $D(\phi) = E(f) = (0; 1]$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = \phi(x)$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$. График определен для $x \in (0; 1]$. В точке $x=1$ значение функции $y=0$. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$. График начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ внизу и поднимается до точки $(1, 0)$ на оси Ox. График $\phi(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = -\sqrt{\frac{1-x}{x}}$, ее область определения $D(\phi) = (0; 1]$.

3.9 а) $y = \sqrt{4 - x^2}, x \in [-2; 0];$

б) $y = \sqrt{4 - x^2}, x \in [0; 2];$

в) $y = \sqrt{21 - x^2 + 4x}, x \in [-3; 2];$

г) $y = 4 + \sqrt{16 - x^2 + 6x}, x \in [3; 8];$

д) $y = 8x^3;$

е) $y = 0,5\sqrt{x};$

ж) $y = 3^{x-1};$

з) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1};$

и) $y = \log_5(x + 2);$

к) $y = \log_{0,2}(x - 1).$

а) Исходная функция: $y = \sqrt{4 - x^2}$ с областью определения $D(y) = [-2; 0]$.Чтобы найти обратную функцию, сначала определим область значений исходной функции. График функции $y = \sqrt{4 - x^2}$ — это верхняя полуокружность $x^2 + y^2 = 4$ с центром в $(0, 0)$ и радиусом $2$. Поскольку $x \in [-2; 0]$, мы рассматриваем левую верхнюю четверть этой окружности. При $x = -2$, $y = \sqrt{4 - (-2)^2} = 0$. При $x = 0$, $y = \sqrt{4 - 0^2} = 2$. На этом интервале функция монотонно возрастает. Следовательно, область значений $E(y) = [0; 2]$.
Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \sqrt{4 - x^2}$. Так как $y \ge 0$, можно возвести обе части в квадрат:$y^2 = 4 - x^2$$x^2 = 4 - y^2$$x = \pm\sqrt{4 - y^2}$Из условия $x \in [-2; 0]$ следует, что $x \le 0$, поэтому выбираем знак «минус»:$x = -\sqrt{4 - y^2}$Для получения обратной функции меняем местами $x$ и $y$:$y = -\sqrt{4 - x^2}$Областью определения обратной функции является область значений исходной, то есть $x \in [0; 2]$.
Ответ: $y = -\sqrt{4 - x^2}, x \in [0; 2]$.

б) Исходная функция: $y = \sqrt{4 - x^2}$ с областью определения $D(y) = [0; 2]$.Это правая верхняя четверть окружности $x^2 + y^2 = 4$. При $x = 0$, $y=2$. При $x=2$, $y=0$. На этом интервале функция монотонно убывает. Область значений $E(y) = [0; 2]$.
Выразим $x$ через $y$:$y^2 = 4 - x^2$$x^2 = 4 - y^2$$x = \pm\sqrt{4 - y^2}$Из условия $x \in [0; 2]$ следует, что $x \ge 0$, поэтому выбираем знак «плюс»:$x = \sqrt{4 - y^2}$Меняем местами $x$ и $y$:$y = \sqrt{4 - x^2}$Область определения обратной функции: $x \in [0; 2]$.
Ответ: $y = \sqrt{4 - x^2}, x \in [0; 2]$.

в) Исходная функция: $y=\sqrt{21 - x^2 + 4x}$ с областью определения $D(y) = [-3; 2]$.Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат: $21 - x^2 + 4x = -(x^2 - 4x - 21) = -(x^2 - 4x + 4 - 25) = 25 - (x - 2)^2$.Функция принимает вид $y = \sqrt{25 - (x - 2)^2}$. График — часть верхней полуокружности $(x-2)^2+y^2=25$ с центром в $(2, 0)$ и радиусом $5$.Найдём область значений на отрезке $x \in [-3; 2]$. При $x=-3$, $y=\sqrt{25 - (-3-2)^2} = 0$. При $x=2$, $y=\sqrt{25 - (2-2)^2} = 5$. На данном отрезке функция возрастает. Область значений $E(y) = [0; 5]$.
Выразим $x$ через $y$:$y^2 = 25 - (x - 2)^2$$(x-2)^2 = 25 - y^2$$x-2 = \pm\sqrt{25 - y^2}$Так как $x \in [-3; 2]$, то $x-2 \le 0$, поэтому выбираем знак «минус»:$x-2 = -\sqrt{25 - y^2} \implies x = 2 - \sqrt{25 - y^2}$Меняем местами $x$ и $y$:$y = 2 - \sqrt{25 - x^2}$Область определения обратной функции: $x \in [0; 5]$.
Ответ: $y = 2 - \sqrt{25 - x^2}, x \in [0; 5]$.

г) Исходная функция: $y = 4 + \sqrt{16 - x^2 + 6x}$ с областью определения $D(y) = [3; 8]$.Преобразуем подкоренное выражение: $16 - x^2 + 6x = -(x^2 - 6x - 16) = -(x^2 - 6x + 9 - 25) = 25 - (x - 3)^2$.Функция имеет вид $y = 4 + \sqrt{25 - (x - 3)^2}$. Это часть верхней полуокружности $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$, с центром в $(3, 4)$ и радиусом $5$.Найдём область значений на отрезке $x \in [3; 8]$. При $x=3$, $y=4+\sqrt{25}=9$. При $x=8$, $y=4+\sqrt{25-(8-3)^2}=4$. На данном отрезке функция убывает. Область значений $E(y) = [4; 9]$.
Выразим $x$ через $y$:$y - 4 = \sqrt{25 - (x - 3)^2}$$(y - 4)^2 = 25 - (x - 3)^2$$(x - 3)^2 = 25 - (y - 4)^2$$x - 3 = \pm\sqrt{25 - (y - 4)^2}$Так как $x \in [3; 8]$, то $x-3 \ge 0$, поэтому выбираем знак «плюс»:$x - 3 = \sqrt{25 - (y - 4)^2} \implies x = 3 + \sqrt{25 - (y - 4)^2}$Меняем местами $x$ и $y$:$y = 3 + \sqrt{25 - (x - 4)^2}$Область определения обратной функции: $x \in [4; 9]$.
Ответ: $y = 3 + \sqrt{25 - (