Страница 74 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

3.1 В декартовой системе координат xOy постройте график функции:

а) $y = 2x + 1;$
б) $y = 2x + 1, x \in [-3; 3];$
в) $y = x^2;$
г) $y = x^2; x \in (0; 1];$
д) $y = x^3;$
е) $y = x^3, x \in (-1; 2).$

а) $y = 2x + 1$

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

1. Найдем первую точку. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получили точку с координатами $(0; 1)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью $Oy$.

2. Найдем вторую точку. Возьмем $x = 1$. Тогда $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получили точку с координатами $(1; 3)$.

Теперь на декартовой системе координат $xOy$ отмечаем точки $(0; 1)$ и $(1; 3)$ и проводим через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(1; 3)$.

б) $y = 2x + 1$, $x \in [-3; 3]$

Это та же линейная функция, что и в пункте а), но ее область определения ограничена отрезком $[-3; 3]$. Следовательно, графиком будет не вся прямая, а только ее отрезок.

Чтобы построить этот отрезок, нужно найти координаты его концов. Для этого подставим в уравнение функции граничные значения $x$.

1. При $x = -3$: $y = 2 \cdot (-3) + 1 = -6 + 1 = -5$. Координаты начальной точки отрезка: $(-3; -5)$.

2. При $x = 3$: $y = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$. Координаты конечной точки отрезка: $(3; 7)$.

Так как интервал $[-3; 3]$ включает в себя концы (квадратные скобки), то точки $(-3; -5)$ и $(3; 7)$ принадлежат графику. На графике их изображают закрашенными (сплошными) кружками.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой, соединяющий точки $(-3; -5)$ и $(3; 7)$. Концевые точки включены.

в) $y = x^2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику. Функция является четной ($y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$), поэтому график симметричен относительно оси $Oy$.

• При $x=0$, $y=0^2=0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1$, $y=1^2=1$. Точка $(1; 1)$.
• При $x=-1$, $y=(-1)^2=1$. Точка $(-1; 1)$.
• При $x=2$, $y=2^2=4$. Точка $(2; 4)$.
• При $x=-2$, $y=(-2)^2=4$. Точка $(-2; 4)$.

Отмечаем эти точки в системе координат и соединяем их плавной линией.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в начале координат $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола проходит через точки $(-2; 4)$, $(-1; 1)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$.

г) $y = x^2$, $x \in (0; 1]$

Это та же квадратичная функция, что и в пункте в), но ее область определения ограничена полуинтервалом $(0; 1]$. Графиком будет являться часть (дуга) параболы.

Найдем значения функции на границах интервала, чтобы определить конечные точки дуги.

1. При $x = 1$ (значение включено в интервал): $y = 1^2 = 1$. Конечная точка дуги — $(1; 1)$. На графике она изображается закрашенным (сплошным) кружком.

2. При $x = 0$ (значение не включено в интервал, так как скобка круглая): $y = 0^2 = 0$. Начальная точка дуги — $(0; 0)$. На графике она изображается пустым (выколотым) кружком.

Соединяем эти две точки дугой параболы.

Ответ: Графиком является дуга параболы $y=x^2$ с началом в точке $(0; 0)$ (точка выколота) и концом в точке $(1; 1)$ (точка включена).

д) $y = x^3$

Это кубическая функция, ее график — кубическая парабола. График проходит через начало координат. Функция является нечетной ($y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$.

Для построения найдем несколько точек:

• При $x=0$, $y=0^3=0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1$, $y=1^3=1$. Точка $(1; 1)$.
• При $x=-1$, $y=(-1)^3=-1$. Точка $(-1; -1)$.
• При $x=2$, $y=2^3=8$. Точка $(2; 8)$.
• При $x=-2$, $y=(-2)^3=-8$. Точка $(-2; -8)$.

Отмечаем эти точки в системе координат и соединяем их плавной кривой.

Ответ: Графиком является кубическая парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно него. График расположен в I и III координатных четвертях и проходит через точки $(-2; -8)$, $(-1; -1)$, $(1; 1)$, $(2; 8)$.

е) $y = x^3$, $x \in (-1; 2)$

Это та же кубическая функция, что и в пункте д), но ее область определения ограничена интервалом $(-1; 2)$. Графиком будет являться часть (дуга) кубической параболы.

Найдем значения функции на границах интервала.

1. При $x = -1$ (значение не включено): $y = (-1)^3 = -1$. Начальная точка дуги — $(-1; -1)$. На графике она изображается выколотым кружком.

2. При $x = 2$ (значение не включено): $y = 2^3 = 8$. Конечная точка дуги — $(2; 8)$. На графике она также изображается выколотым кружком.

График проходит через точку $(0; 0)$ и $(1; 1)$, так как эти значения $x$ лежат внутри интервала $(-1; 2)$.

Ответ: Графиком является дуга кубической параболы $y=x^3$ с началом в точке $(-1; -1)$ и концом в точке $(2; 8)$. Обе концевые точки выколоты (не включены в график).

3.2 Выполнив построение графиков, убедитесь, что в декартовой системе координат $xOy$ совпадают графики функций:

а) $y = x + 1$ и $x = y - 1$;

б) $y = 2x$ и $x = \frac{1}{2}y$;

в) $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$ и $x = \sqrt{y}$, $y \in [0; +\infty)$;

г) $y = x^2$, $x \in (-\infty; 0]$ и $x = -\sqrt{y}$, $y \in [0; +\infty)$;

д) $y = x^3$ и $x = \sqrt[3]{y}$;

е) $y = 2^x$ и $x = \log_2 y$, $y \in (0; +\infty)$.

Рассмотрим пару уравнений: $y = x + 1$ и $x = y - 1$. Чтобы убедиться, что их графики в декартовой системе координат $xOy$ совпадают, мы должны показать, что они определяют одно и то же множество точек $(x, y)$. Преобразуем второе уравнение, выразив $y$ через $x$.

Из уравнения $x = y - 1$ путем добавления 1 к обеим частям получаем:

$x + 1 = y$, или $y = x + 1$.

Это уравнение в точности совпадает с первым. Оба уравнения описывают одну и ту же прямую линию. Следовательно, их графики совпадают.

Ответ: Графики функций совпадают, так как уравнение $x = y - 1$ является алгебраическим преобразованием уравнения $y = x + 1$.

Рассмотрим функции $y = 2x$ и $x = \frac{1}{2}y$. Выразим $y$ из второго уравнения, умножив обе части на 2:

$2x = 2 \cdot \frac{1}{2}y$

$2x = y$, или $y = 2x$.

Полученное уравнение идентично первому. Оба уравнения описывают одну и ту же прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом 2. Таким образом, их графики совпадают.

Ответ: Графики функций совпадают, так как уравнения $y=2x$ и $x=\frac{1}{2}y$ эквивалентны.

Рассмотрим функции $y = x^2$ при $x \in [0; +\infty)$ и $x = \sqrt{y}$ при $y \in [0; +\infty)$.

Первая функция задает правую ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0,0)$. Область определения $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$.

Рассмотрим второе уравнение $x = \sqrt{y}$. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, поэтому из этого уравнения следует, что $x \ge 0$. Также задано условие $y \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{y})^2$

$y = x^2$

Таким образом, второе уравнение $x = \sqrt{y}$ при $y \ge 0$ эквивалентно уравнению $y = x^2$ при $x \ge 0$. Поскольку и уравнения, и ограничения на переменные совпадают, их графики также совпадают.

Ответ: Графики функций совпадают, так как они описывают одно и то же множество точек (правую ветвь параболы).

Рассмотрим функции $y = x^2$ при $x \in (-\infty; 0]$ и $x = -\sqrt{y}$ при $y \in [0; +\infty)$.

Первая функция задает левую ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0,0)$. Область определения $x \le 0$, область значений $y \ge 0$.

Рассмотрим второе уравнение $x = -\sqrt{y}$. Так как $\sqrt{y} \ge 0$, то $-\sqrt{y} \le 0$, следовательно, $x \le 0$. Условие $y \ge 0$ дано. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 = (-\sqrt{y})^2$

$y = x^2$

Второе уравнение $x = -\sqrt{y}$ при $y \ge 0$ эквивалентно уравнению $y = x^2$ при $x \le 0$. Так как и уравнения, и ограничения на переменные совпадают, их графики совпадают.

Ответ: Графики функций совпадают, так как они описывают одно и то же множество точек (левую ветвь параболы).

Рассмотрим функции $y = x^3$ и $x = \sqrt[3]{y}$. Обе функции определены для всех действительных чисел.

Выразим $y$ из второго уравнения $x = \sqrt[3]{y}$. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень:

$x^3 = (\sqrt[3]{y})^3$

$y = x^3$

Полученное уравнение полностью совпадает с первым. Графиком обеих функций является кубическая парабола. Следовательно, графики совпадают.

Ответ: Графики функций совпадают, так как уравнения $y=x^3$ и $x=\sqrt[3]{y}$ эквивалентны для всех действительных чисел.

Рассмотрим функции $y = 2^x$ и $x = \log_2 y$ при $y \in (0; +\infty)$.

Первая функция $y = 2^x$ — это показательная функция. Ее область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), а область значений — все положительные действительные числа ($y \in (0; +\infty)$).

Второе уравнение $x = \log_2 y$ — логарифмическое. По определению логарифма, оно эквивалентно показательному уравнению $y = 2^x$.

Заданное ограничение $y \in (0; +\infty)$ для логарифмической функции совпадает с областью значений показательной функции. Таким образом, оба уравнения описывают одно и то же множество точек.

Ответ: Графики функций совпадают, так как уравнение $x = \log_2 y$ является по определению эквивалентной записью для $y = 2^x$.