Страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

2.39° Какая функция является:

а) непрерывной в точке $x_0$ интервала $J$;

б) непрерывной на интервале $J$;

в) разрывной в точке $x_0$ интервала $J$?

а) непрерывной в точке x₀ интервала J;

Функция $y = f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$ интервала $J$, если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку $x_0$) и предел функции при стремлении аргумента $x$ к $x_0$ равен значению функции в этой точке.

Формально это условие записывается так: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Для выполнения этого равенства необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия: 1) функция $f(x)$ определена в точке $x_0$ (то есть существует значение $f(x_0)$); 2) существует предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$ (это означает, что односторонние пределы существуют и равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$); 3) значение этого предела равно значению функции в точке $x_0$.

Геометрически это означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является сплошной линией, без разрывов, скачков или проколов.

Ответ: Функция, для которой в точке $x_0$ существует предел, равный значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

б) непрерывной на интервале J;

Функция $y = f(x)$ называется непрерывной на интервале $J$, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Это означает, что для любой точки $c$ из интервала $J$ (математически: $\forall c \in J$) выполняется равенство $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$. Если интервал включает свои концы (например, отрезок $[a, b]$), то на концах интервала непрерывность понимается как односторонняя: непрерывность справа в точке $a$ ($\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$) и непрерывность слева в точке $b$ ($\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$).

Геометрически это означает, что график функции на всем интервале $J$ является сплошной линией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Ответ: Функция, которая является непрерывной в каждой точке интервала $J$.

в) разрывной в точке x₀ интервала J?

Функция $y = f(x)$ называется разрывной в точке $x_0$ интервала $J$, если в этой точке нарушается условие непрерывности. То есть, не выполняется хотя бы одно из трех условий, необходимых для непрерывности.

Нарушение непрерывности (разрыв) в точке $x_0$ происходит в одном из следующих случаев:
1. Функция не определена в точке $x_0$ (например, $f(x) = \frac{1}{x-x_0}$).
2. Предел функции в точке $x_0$ не существует (например, когда левый и правый пределы не равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$). Такой разрыв называют разрывом первого рода или "скачком".
3. Предел функции в точке $x_0$ существует, но он не равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$. Такой разрыв называют устранимым разрывом.
Также выделяют разрывы второго рода, когда хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Ответ: Функция, у которой в точке $x_0$ нарушено условие непрерывности, то есть не выполняется равенство $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ (по причине того, что предел не существует, не равен значению функции, или сама функция не определена в этой точке).

2.40 Имеет ли точки разрыва функция:

а) $y = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ \alpha, & \text{если } x = 0 \, (\alpha \in \mathbb{R}); \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} x \cdot \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0; \end{cases}$

д) $y = \begin{cases} x \cdot \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0; \end{cases}$

е) $y = \begin{cases} \operatorname{arctg} \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ \alpha, & \text{если } x = 0 \, (\alpha \in \mathbb{R}); \end{cases}$

ж) $y = \{x\} - \frac{1}{2};$

з) $y = \begin{cases} \frac{|\sin x|}{\sin x}, & \text{если } x \neq \pi n \, (n \in \mathbb{Z}) \\ 0, & \text{если } x = \pi n \, (n \in \mathbb{Z})? \end{cases}$

а) $ y = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \end{cases} $

Функция определена на всей числовой оси. Единственной точкой, где может быть разрыв, является $x=0$, так как в этой точке меняется аналитическое выражение функции. Исследуем поведение функции в окрестности этой точки.

Найдём односторонние пределы при $x \to 0$:

Правый предел (когда $x \to 0^+$, то есть $x > 0$, и $|x| = x$):
$ \lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 $

Левый предел (когда $x \to 0^-$, то есть $x < 0$, и $|x| = -x$):
$ \lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{-x} = -1 $

Значение функции в точке $x=0$ по условию $y(0) = 0$.

Так как односторонние пределы существуют, но не равны между собой ($1 \neq -1$), то в точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция имеет точку разрыва первого рода при $x=0$.

б) $ y = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0 \end{cases} $

Исследуем на непрерывность в точке $x=0$. Для этого найдем предел функции при $x \to 0$.

Используем первый замечательный предел:
$ \lim_{x \to 0} y(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $

Значение функции в точке $x=0$ по условию $y(0) = 1$.

Поскольку предел функции в точке $x=0$ равен значению функции в этой точке ($ \lim_{x \to 0} y(x) = y(0) $), функция непрерывна в точке $x=0$. На всей остальной числовой оси функция также непрерывна.

Ответ: функция не имеет точек разрыва.

в) $ y = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ \alpha, & \text{если } x = 0 \quad (\alpha \in \mathbb{R}) \end{cases} $

Исследуем на непрерывность в точке $x=0$. Найдем предел функции при $x \to 0$.

Рассмотрим предел $ \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} $. При $x \to 0$, аргумент синуса $\frac{1}{x} \to \infty$. Функция $ \sin t $ при $t \to \infty$ не имеет предела, она колеблется между $-1$ и $1$. Например, для последовательности $x_n = \frac{1}{\pi/2 + 2\pi n} \to 0$ имеем $y(x_n) = \sin(\pi/2 + 2\pi n) = 1$. А для последовательности $z_n = \frac{1}{3\pi/2 + 2\pi n} \to 0$ имеем $y(z_n) = \sin(3\pi/2 + 2\pi n) = -1$.

Поскольку предел функции при $x \to 0$ не существует, то в точке $x=0$ функция имеет разрыв. Так как односторонние пределы также не существуют, это разрыв второго рода. Этот вывод не зависит от значения $\alpha$.

Ответ: функция имеет точку разрыва второго рода при $x=0$ для любого $\alpha \in \mathbb{R}$.

г) $ y = \begin{cases} x \cdot \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \end{cases} $

Исследуем на непрерывность в точке $x=0$. Найдем предел функции при $x \to 0$.

Воспользуемся тем, что функция $\sin \frac{1}{x}$ ограничена: $ -1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1 $ при $x \neq 0$.

Тогда $ -|x| \le x \sin \frac{1}{x} \le |x| $. Так как $ \lim_{x \to 0} |x| = 0 $ и $ \lim_{x \to 0} (-|x|) = 0 $, то по теореме о двух милиционерах (о сжатой функции) получаем:
$ \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 $

Значение функции в точке $x=0$ по условию $y(0) = 0$.

Так как $ \lim_{x \to 0} y(x) = y(0) $, функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: функция не имеет точек разрыва.

д) $ y = \begin{cases} x \cdot \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0 \end{cases} $

Исследуем на непрерывность в точке $x=0$. Как и в предыдущем пункте, найдем предел функции при $x \to 0$.

$ \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 $

Значение функции в точке $x=0$ по условию $y(0) = 1$.

Поскольку предел функции в точке $x=0$ существует и конечен, но не равен значению функции в этой точке ($0 \neq 1$), то в точке $x=0$ функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Ответ: функция имеет устранимый разрыв первого рода при $x=0$.

е) $ y = \begin{cases} \operatorname{arctg} \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ \alpha, & \text{если } x = 0 \quad (\alpha \in \mathbb{R}) \end{cases} $

Исследуем на непрерывность в точке $x=0$. Найдем односторонние пределы.

Правый предел: при $x \to 0^+$, $\frac{1}{x} \to +\infty$.
$ \lim_{x \to 0^+} \operatorname{arctg} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} $

Левый предел: при $x \to 0^-$, $\frac{1}{x} \to -\infty$.
$ \lim_{x \to 0^-} \operatorname{arctg} \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} $

Односторонние пределы существуют и конечны, но не равны друг другу. Следовательно, в точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок) независимо от значения $\alpha$.

Ответ: функция имеет точку разрыва первого рода при $x=0$ для любого $\alpha \in \mathbb{R}$.

ж) $ y = |\{x\} - \frac{1}{2}| $

Здесь $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ — дробная часть числа $x$. Функция $\{x\}$ разрывна во всех целочисленных точках $x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Во всех остальных точках функция $\{x\}$ непрерывна, а значит и функция $y(x)$ непрерывна. Исследуем поведение функции в целочисленных точках $x=n$.

Найдём односторонние пределы в точке $x=n$.

Левый предел: при $x \to n^-$, $\{x\} \to 1$.
$ \lim_{x \to n^-} y(x) = \lim_{x \to n^-} |\{x\} - \frac{1}{2}| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} $

Правый предел: при $x \to n^+$, $\{x\} \to 0$.
$ \lim_{x \to n^+} y(x) = \lim_{x \to n^+} |\{x\} - \frac{1}{2}| = |0 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} $

Значение функции в точке $x=n$:
$ y(n) = |\{n\} - \frac{1}{2}| = |0 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} $

Так как левый предел, правый предел и значение функции в точке $x=n$ равны, функция непрерывна во всех целочисленных точках.

Ответ: функция не имеет точек разрыва.

з) $ y = \begin{cases} \frac{|\sin x|}{\sin x}, & \text{если } x \neq \pi n \quad (n \in \mathbb{Z}) \\ 0, & \text{если } x = \pi n \quad (n \in \mathbb{Z}) \end{cases} $

Выражение $\frac{|\sin x|}{\sin x}$ равно 1, если $\sin x > 0$, и -1, если $\sin x < 0$. Функция не определена, когда $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках функция по условию равна 0. Исследуем эти точки на разрыв.

Рассмотрим точку $x_n = \pi n$.

1. Пусть $n$ — четное число, $n = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}$). Точка $x_{2k}=2k\pi$.
При $x \to (2k\pi)^-$, $x$ находится в интервале $(\pi(2k-1), 2k\pi)$, где $\sin x < 0$.
$ \lim_{x \to (2k\pi)^-} y(x) = -1 $
При $x \to (2k\pi)^+$, $x$ находится в интервале $(2k\pi, \pi(2k+1))$, где $\sin x > 0$.
$ \lim_{x \to (2k\pi)^+} y(x) = 1 $
Односторонние пределы не равны, значит в точках $x=2k\pi$ разрыв первого рода (скачок).

2. Пусть $n$ — нечетное число, $n = 2k+1$ ($k \in \mathbb{Z}$). Точка $x_{2k+1}=(2k+1)\pi$.
При $x \to ((2k+1)\pi)^-$, $x$ находится в интервале $(2k\pi, (2k+1)\pi)$, где $\sin x > 0$.
$ \lim_{x \to ((2k+1)\pi)^-} y(x) = 1 $
При $x \to ((2k+1)\pi)^+$, $x$ находится в интервале $((2k+1)\pi, (2k+2)\pi)$, где $\sin x < 0$.
$ \lim_{x \to ((2k+1)\pi)^+} y(x) = -1 $
Односторонние пределы не равны, значит в точках $x=(2k+1)\pi$ также разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция имеет точки разрыва первого рода (скачки) при $x=\pi n$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

2.41 Можно ли доопределить функцию $f(x)$ в точке $x_0$ (в точках $x_k$) так, чтобы новая функция стала непрерывной на интервале $(-\infty; +\infty)$? Если да, то как это сделать?

а) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1}$, $x_0 = 1$;

б) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$, $x_0 = -2$;

в) $f(x) = \frac{12 - x}{x}$, $x_0 = 0$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$, $x_0 = 2$;

д) $f(x) = \cos x \operatorname{tg} x$, $x_k = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$;

е) $f(x) = \sin x \operatorname{ctg} x$, $x_k = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$;

ж) $f(x) = \operatorname{tg} x$, $x_k = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$;

з) $f(x) = \operatorname{ctg} x$, $x_k = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы функцию $f(x)$ можно было доопределить в точке разрыва $x_0$ (или в точках $x_k$) до непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке (этих точках) существовал конечный предел функции. Если $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, где $L$ — конечное число, то разрыв называется устранимым. В этом случае функцию можно сделать непрерывной, положив $f(x_0) = L$. Если предел не существует или бесконечен (разрыв второго рода), то сделать функцию непрерывной в данной точке невозможно.

а) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1}$, $x_0 = 1$

Функция не определена в точке $x_0 = 1$. Найдем предел функции в этой точке. При подстановке $x=1$ в числитель и знаменатель получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Разложим числитель на множители: $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-4)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x-4) = 1 - 4 = -3$.

Предел существует и конечен, следовательно, разрыв в точке $x_0=1$ устранимый.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно положить $f(1) = -3$.

б) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$, $x_0 = -2$

Функция не определена в точке $x_0 = -2$. Найдем предел, раскрыв неопределенность вида $\frac{0}{0}$ с помощью формулы разности квадратов $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x + 2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x-2)(x+2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x-2) = -2 - 2 = -4$.

Предел существует и конечен. Разрыв устранимый.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно положить $f(-2) = -4$.

в) $f(x) = \frac{12 - x}{x}$, $x_0 = 0$

Функция не определена в точке $x_0 = 0$. Найдем предел в этой точке.

$\lim_{x \to 0} \frac{12 - x}{x}$

При $x \to 0$ числитель стремится к 12, а знаменатель — к 0. Предел не является конечным числом. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{12 - x}{x} = \frac{12}{+0} = +\infty$

$\lim_{x \to 0^-} \frac{12 - x}{x} = \frac{12}{-0} = -\infty$

Поскольку предел в точке $x_0=0$ не существует и не является конечным числом (бесконечный разрыв), доопределить функцию до непрерывной в этой точке нельзя.

Ответ: Нет, нельзя.

г) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$, $x_0 = 2$

Функция не определена в точке $x_0 = 2$. Найдем предел в этой точке.

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x - 2}$

При $x \to 2$ числитель стремится к $2^2 - 1 = 3$, а знаменатель — к 0. Это бесконечный разрыв.

$\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 1}{x - 2} = \frac{3}{+0} = +\infty$

$\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 1}{x - 2} = \frac{3}{-0} = -\infty$

Доопределить функцию до непрерывной в этой точке невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.

д) $f(x) = \cos x \cdot \tan x$, $x_k = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Функция не определена в точках $x_k$, так как в этих точках не определен $\tan x$. Преобразуем функцию, используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$f(x) = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$. При $x \neq x_k$ это выражение можно сократить до $\sin x$.

Найдем предел в точках разрыва:

$\lim_{x \to x_k} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} + \pi k} \sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k$.

Предел существует и конечен для любого целого $k$. Разрывы устранимы.

Ответ: Да, можно. Нужно положить $f(x_k) = (-1)^k$ в точках $x_k = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) $f(x) = \sin x \cdot \cot x$, $x_k = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Функция не определена в точках $x_k$, так как в этих точках не определен $\cot x$. Преобразуем функцию, используя определение котангенса $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$:

$f(x) = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$. При $x \neq x_k$ это выражение можно сократить до $\cos x$.

Найдем предел в точках разрыва:

$\lim_{x \to x_k} f(x) = \lim_{x \to \pi k} \cos x = \cos(\pi k) = (-1)^k$.

Предел существует и конечен для любого целого $k$. Разрывы устранимы.

Ответ: Да, можно. Нужно положить $f(x_k) = (-1)^k$ в точках $x_k = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж) $f(x) = \tan x$, $x_k = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Функция не определена в точках $x_k$. Найдем односторонние пределы, например, в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$\lim_{x \to (\pi/2)^-} \tan x = +\infty$

$\lim_{x \to (\pi/2)^+} \tan x = -\infty$

Пределы бесконечны, значит, в точках $x_k$ функция имеет неустранимые разрывы второго рода.

Ответ: Нет, нельзя.

з) $f(x) = \cot x$, $x_k = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Функция не определена в точках $x_k$. Найдем односторонние пределы, например, в точке $x_0 = 0$:

$\lim_{x \to 0^+} \cot x = +\infty$

$\lim_{x \to 0^-} \cot x = -\infty$

Пределы бесконечны, значит, в точках $x_k$ функция имеет неустранимые разрывы второго рода.

Ответ: Нет, нельзя.