Номер 2.40, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.40, страница 71.

Условие.

2.40 Имеет ли точки разрыва функция:

а) $y = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ \alpha, & \text{если } x = 0 \, (\alpha \in \mathbb{R}); \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} x \cdot \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0; \end{cases}$

д) $y = \begin{cases} x \cdot \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0; \end{cases}$

е) $y = \begin{cases} \operatorname{arctg} \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ \alpha, & \text{если } x = 0 \, (\alpha \in \mathbb{R}); \end{cases}$

ж) $y = \{x\} - \frac{1}{2};$

з) $y = \begin{cases} \frac{|\sin x|}{\sin x}, & \text{если } x \neq \pi n \, (n \in \mathbb{Z}) \\ 0, & \text{если } x = \pi n \, (n \in \mathbb{Z})? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ y = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \end{cases} $

Функция определена на всей числовой оси. Единственной точкой, где может быть разрыв, является $x=0$, так как в этой точке меняется аналитическое выражение функции. Исследуем поведение функции в окрестности этой точки.

Найдём односторонние пределы при $x \to 0$:

Правый предел (когда $x \to 0^+$, то есть $x > 0$, и $|x| = x$):
$ \lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 $

Левый предел (когда $x \to 0^-$, то есть $x < 0$, и $|x| = -x$):
$ \lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{-x} = -1 $

Значение функции в точке $x=0$ по условию $y(0) = 0$.

Так как односторонние пределы существуют, но не равны между собой ($1 \neq -1$), то в точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция имеет точку разрыва первого рода при $x=0$.

б) $ y = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0 \end{cases} $

Исследуем на непрерывность в точке $x=0$. Для этого найдем предел функции при $x \to 0$.

Используем первый замечательный предел:
$ \lim_{x \to 0} y(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $

Значение функции в точке $x=0$ по условию $y(0) = 1$.

Поскольку предел функции в точке $x=0$ равен значению функции в этой точке ($ \lim_{x \to 0} y(x) = y(0) $), функция непрерывна в точке $x=0$. На всей остальной числовой оси функция также непрерывна.

Ответ: функция не имеет точек разрыва.

в) $ y = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ \alpha, & \text{если } x = 0 \quad (\alpha \in \mathbb{R}) \end{cases} $

Исследуем на непрерывность в точке $x=0$. Найдем предел функции при $x \to 0$.

Рассмотрим предел $ \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} $. При $x \to 0$, аргумент синуса $\frac{1}{x} \to \infty$. Функция $ \sin t $ при $t \to \infty$ не имеет предела, она колеблется между $-1$ и $1$. Например, для последовательности $x_n = \frac{1}{\pi/2 + 2\pi n} \to 0$ имеем $y(x_n) = \sin(\pi/2 + 2\pi n) = 1$. А для последовательности $z_n = \frac{1}{3\pi/2 + 2\pi n} \to 0$ имеем $y(z_n) = \sin(3\pi/2 + 2\pi n) = -1$.

Поскольку предел функции при $x \to 0$ не существует, то в точке $x=0$ функция имеет разрыв. Так как односторонние пределы также не существуют, это разрыв второго рода. Этот вывод не зависит от значения $\alpha$.

Ответ: функция имеет точку разрыва второго рода при $x=0$ для любого $\alpha \in \mathbb{R}$.

г) $ y = \begin{cases} x \cdot \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \end{cases} $

Исследуем на непрерывность в точке $x=0$. Найдем предел функции при $x \to 0$.

Воспользуемся тем, что функция $\sin \frac{1}{x}$ ограничена: $ -1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1 $ при $x \neq 0$.

Тогда $ -|x| \le x \sin \frac{1}{x} \le |x| $. Так как $ \lim_{x \to 0} |x| = 0 $ и $ \lim_{x \to 0} (-|x|) = 0 $, то по теореме о двух милиционерах (о сжатой функции) получаем:
$ \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 $

Значение функции в точке $x=0$ по условию $y(0) = 0$.

Так как $ \lim_{x \to 0} y(x) = y(0) $, функция непрерывна в точке $x=0$.

Ответ: функция не имеет точек разрыва.

д) $ y = \begin{cases} x \cdot \sin \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0 \end{cases} $

Исследуем на непрерывность в точке $x=0$. Как и в предыдущем пункте, найдем предел функции при $x \to 0$.

$ \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 $

Значение функции в точке $x=0$ по условию $y(0) = 1$.

Поскольку предел функции в точке $x=0$ существует и конечен, но не равен значению функции в этой точке ($0 \neq 1$), то в точке $x=0$ функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Ответ: функция имеет устранимый разрыв первого рода при $x=0$.

е) $ y = \begin{cases} \operatorname{arctg} \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ \alpha, & \text{если } x = 0 \quad (\alpha \in \mathbb{R}) \end{cases} $

Исследуем на непрерывность в точке $x=0$. Найдем односторонние пределы.

Правый предел: при $x \to 0^+$, $\frac{1}{x} \to +\infty$.
$ \lim_{x \to 0^+} \operatorname{arctg} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} $

Левый предел: при $x \to 0^-$, $\frac{1}{x} \to -\infty$.
$ \lim_{x \to 0^-} \operatorname{arctg} \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} $

Односторонние пределы существуют и конечны, но не равны друг другу. Следовательно, в точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок) независимо от значения $\alpha$.

Ответ: функция имеет точку разрыва первого рода при $x=0$ для любого $\alpha \in \mathbb{R}$.

ж) $ y = |\{x\} - \frac{1}{2}| $

Здесь $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ — дробная часть числа $x$. Функция $\{x\}$ разрывна во всех целочисленных точках $x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Во всех остальных точках функция $\{x\}$ непрерывна, а значит и функция $y(x)$ непрерывна. Исследуем поведение функции в целочисленных точках $x=n$.

Найдём односторонние пределы в точке $x=n$.

Левый предел: при $x \to n^-$, $\{x\} \to 1$.
$ \lim_{x \to n^-} y(x) = \lim_{x \to n^-} |\{x\} - \frac{1}{2}| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} $

Правый предел: при $x \to n^+$, $\{x\} \to 0$.
$ \lim_{x \to n^+} y(x) = \lim_{x \to n^+} |\{x\} - \frac{1}{2}| = |0 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} $

Значение функции в точке $x=n$:
$ y(n) = |\{n\} - \frac{1}{2}| = |0 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2} $

Так как левый предел, правый предел и значение функции в точке $x=n$ равны, функция непрерывна во всех целочисленных точках.

Ответ: функция не имеет точек разрыва.

з) $ y = \begin{cases} \frac{|\sin x|}{\sin x}, & \text{если } x \neq \pi n \quad (n \in \mathbb{Z}) \\ 0, & \text{если } x = \pi n \quad (n \in \mathbb{Z}) \end{cases} $

Выражение $\frac{|\sin x|}{\sin x}$ равно 1, если $\sin x > 0$, и -1, если $\sin x < 0$. Функция не определена, когда $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках функция по условию равна 0. Исследуем эти точки на разрыв.

Рассмотрим точку $x_n = \pi n$.

1. Пусть $n$ — четное число, $n = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}$). Точка $x_{2k}=2k\pi$.
При $x \to (2k\pi)^-$, $x$ находится в интервале $(\pi(2k-1), 2k\pi)$, где $\sin x < 0$.
$ \lim_{x \to (2k\pi)^-} y(x) = -1 $
При $x \to (2k\pi)^+$, $x$ находится в интервале $(2k\pi, \pi(2k+1))$, где $\sin x > 0$.
$ \lim_{x \to (2k\pi)^+} y(x) = 1 $
Односторонние пределы не равны, значит в точках $x=2k\pi$ разрыв первого рода (скачок).

2. Пусть $n$ — нечетное число, $n = 2k+1$ ($k \in \mathbb{Z}$). Точка $x_{2k+1}=(2k+1)\pi$.
При $x \to ((2k+1)\pi)^-$, $x$ находится в интервале $(2k\pi, (2k+1)\pi)$, где $\sin x > 0$.
$ \lim_{x \to ((2k+1)\pi)^-} y(x) = 1 $
При $x \to ((2k+1)\pi)^+$, $x$ находится в интервале $((2k+1)\pi, (2k+2)\pi)$, где $\sin x < 0$.
$ \lim_{x \to ((2k+1)\pi)^+} y(x) = -1 $
Односторонние пределы не равны, значит в точках $x=(2k+1)\pi$ также разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция имеет точки разрыва первого рода (скачки) при $x=\pi n$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.