Номер 2.36, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.36, страница 67.

Условие.

2.36 Объясните, почему у функции $y = f(x)$ на указанном отрезке имеется нуль, если:

а) $f(x) = 5x + 2$, $[-1; 2];$

б) $f(x) = x^2 + 6x - 1$, $[0; 1];$

в) $f(x) = x^3 + 6x^2 - 4x - 1$, $[0; 1].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для объяснения воспользуемся следствием из теоремы о промежуточном значении (теоремой Больцано-Коши). Она гласит: если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$ и принимает на его концах значения разных знаков (то есть $f(a) \cdot f(b) < 0$), то внутри этого отрезка существует по крайней мере одна точка $c \in (a; b)$, в которой $f(c) = 0$. Нуль функции — это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Все представленные функции являются многочленами, а многочлены непрерывны на всей числовой оси, следовательно, они непрерывны и на указанных отрезках. Нам остается только проверить значения функций на концах отрезков.

а) Дана функция $f(x) = 5x + 2$ на отрезке $[-1; 2]$.
1. Функция является линейной и непрерывна на отрезке $[-1; 2]$.
2. Найдем значения функции на концах отрезка:
При $x = -1$: $f(-1) = 5 \cdot (-1) + 2 = -5 + 2 = -3$.
При $x = 2$: $f(2) = 5 \cdot 2 + 2 = 10 + 2 = 12$.
3. Значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: $f(-1) = -3 < 0$ и $f(2) = 12 > 0$.
Следовательно, согласно теореме Больцано-Коши, на интервале $(-1; 2)$ существует как минимум один нуль функции.
Ответ: Функция непрерывна на отрезке $[-1; 2]$ и принимает на его концах значения разных знаков ($f(-1)=-3$ и $f(2)=12$), поэтому на этом отрезке у нее есть нуль.

б) Дана функция $f(x) = x^2 + 6x - 1$ на отрезке $[0; 1]$.
1. Функция является квадратичной и непрерывна на отрезке $[0; 1]$.
2