Номер 2.35, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.35, страница 67.

Условие.

2.35° a) Сформулируйте теорему о промежуточном значении непрерывной функции.

б) Пусть функция $y = f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$ и $f(a) > 0$, $f(b) < 0$. На каком основании утверждают, что на интервале $(a; b)$ найдётся точка $c$, такая, что $f(c) = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Теорема о промежуточном значении (также известная как теорема Больцано-Коши) утверждает следующее: если функция $y = f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a; b]$, то для любого числа $C$, которое находится строго между значениями функции на концах этого отрезка, то есть $f(a) < C < f(b)$ или $f(b) < C < f(a)$, найдётся хотя бы одна точка $c$ на открытом интервале $(a; b)$, такая, что $f(c) = C$.

Иными словами, график непрерывной функции на отрезке не может "перепрыгнуть" через какое-либо промежуточное значение, не приняв его.

Ответ: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, то для любого числа $C$, лежащего строго между $f(a)$ и $f(b)$, существует точка $c \in (a; b)$, такая что $f(c) = C$.

б) Утверждение о том, что найдётся точка $c \in (a; b)$ такая, что $f(c) = 0$, основывается на теореме о промежуточном значении, которая была сформулирована в пункте а). Конкретно, это частный случай, известный как теорема Больцано-Коши о нуле функции.

Применим теорему к данным условиям. Во-первых, нам дано, что функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, что является основным требованием теоремы. Во-вторых, нам дано, что значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: $f(a) > 0$ и $f(b) < 0$.

Рассмотрим число $C=0$. Так как $f(b) < 0$ и $f(a) > 0$, то число $0$ находится между значениями $f(b)$ и $f(a)$. Таким образом, $C=0$ является промежуточным значением для функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$.

Согласно теореме о промежуточном значении, раз все её условия выполнены, то обязательно найдётся точка $c$ на интервале $(a; b)$, в которой функция принимает это промежуточное значение. То есть, $f(c) = C = 0$.

Геометрическая интерпретация этого факта такова: график непрерывной функции, соединяющий точку $(a, f(a))$, расположенную над осью абсцисс, с точкой $(b, f(b))$, расположенной под осью абсцисс, неизбежно должен пересечь эту ось. Точка пересечения графика с осью абсцисс и будет иметь координату $x = c$.

Ответ: На основании теоремы о промежуточном значении непрерывной функции. Поскольку функция непрерывна на $[a; b]$ и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков ($f(a) > 0$, $f(b) < 0$), она обязана принять любое промежуточное значение между $f(a)$ и $f(b)$, включая значение $0$.