Номер 2.29, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.29, страница 64.

Условие.

2.29 Докажите, что функция $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ непрерывна в любой точке $x_0 \in \mathbf{R}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Доказательство

Чтобы доказать, что функция (полином) $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ непрерывна в любой точке $x_0 \in \mathbb{R}$, необходимо показать, что предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Формально это записывается как: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Доказательство будем строить, последовательно используя арифметические свойства пределов (или, что эквивалентно, теоремы о непрерывности суммы и произведения функций).

Сначала рассмотрим базовые функции. Постоянная функция $g(x) = c$ и тождественная функция $h(x) = x$ непрерывны в любой точке $x_0 \in \mathbb{R}$, поскольку их пределы в любой точке равны их значениям в этой точке:
$\lim_{x \to x_0} c = c = g(x_0)$
$\lim_{x \to x_0} x = x_0 = h(x_0)$

Далее, рассмотрим степенную функцию $p_k(x) = x^k$ для любого натурального $k \ge 1$. Эту функцию можно представить как произведение непрерывной функции $h(x)=x$ на себя $k$ раз. Так как известно, что произведение конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией, то и $x^k$ непрерывна в любой точке $x_0$. Используя свойство предела произведения, получаем:
$\lim_{x \to x_0} x^k = \lim_{x \to x_0} (\underbrace{x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{k \text{ раз}}) = (\lim_{x \to x_0} x) \cdot ... \cdot (\lim_{x \to x_0} x) = \underbrace{x_0 \cdot x_0 \cdot ... \cdot x_0}_{k \text{ раз}} = x_0^k$.

Теперь рассмотрим отдельный член полинома (одночлен) вида $t_k(x) = a_k x^k$. Этот член является произведением непрерывной постоянной функции $c(x) = a_k$ и непрерывной степенной функции $p_k(x) = x^k$. Следовательно, их произведение также непрерывно. По свойству предела произведения константы на функцию:
$\lim_{x \to x_0} (a_k x^k) = a_k \cdot (\lim_{x \to x_0} x^k) = a_k x_0^k$.
Это справедливо для всех $k$ от 1 до $n$. Член $a_0$ является постоянной функцией и, как показано выше, непрерывен.

Наконец, сам полином $f(x)$ является суммой таких непрерывных функций-одночленов:
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$.
Так как известно, что сумма конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией, полином $f(x)$ также непрерывен в любой точке $x_0 \in \mathbb{R}$. Применим свойство предела суммы:
$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0)$
$= \lim_{x \to x_0} (a_n x^n) + \lim_{x \to x_0} (a_{n-1} x^{n-1}) + ... + \lim_{x \to x_0} (a_1 x) + \lim_{x \to x_0} a_0$
Используя результаты, полученные для одночленов:
$= a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + ... + a_1 x_0 + a_0$.
Полученное выражение является в точности значением функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f(x_0)$.

Поскольку мы доказали, что для любой точки $x_0 \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, это означает, что полиномиальная функция непрерывна в любой точке действительной оси.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ непрерывна в любой точке $x_0 \in \mathbb{R}$.