Номер 2.22, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.22, страница 64.

Условие.

Вычислите приращение $\Delta f$ функции $y = f(x)$ в заданной точке $x_0$ и при заданном приращении аргумента $\Delta x$ (2.22—2.24), если:

2.22 $f(x) = 2x$.

а) $x_0 = 3, \Delta x = 0,1$;

б) $x_0 = 4, \Delta x = -0,1$;

в) $x_0 = 0, \Delta x = 0,1$;

г) $x_0 = 1, \Delta x = 0,01$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Приращение функции $Δf$ в точке $x_0$ при заданном приращении аргумента $Δx$ вычисляется по определению как разность значений функции в новой точке $(x_0 + Δx)$ и в начальной точке $x_0$:

$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$

Для заданной функции $f(x) = 2x$ найдем общее выражение для приращения. Подставим функцию в формулу:

$Δf = 2(x_0 + Δx) - 2x_0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$Δf = 2x_0 + 2Δx - 2x_0 = 2Δx$

Таким образом, для данной линейной функции приращение $Δf$ не зависит от точки $x_0$ и равно удвоенному приращению аргумента $Δx$. Теперь вычислим $Δf$ для каждого конкретного случая.

а) Даны значения $x_0 = 3$ и $Δx = 0,1$.

Выполним расчет по общей формуле приращения:

$Δf = f(3 + 0,1) - f(3) = f(3,1) - f(3) = 2 \cdot 3,1 - 2 \cdot 3 = 6,2 - 6 = 0,2$.

Также можно использовать выведенную нами упрощенную формулу: $Δf = 2Δx = 2 \cdot 0,1 = 0,2$.

Ответ: $Δf = 0,2$.

б) Даны значения $x_0 = 4$ и $Δx = -0,1$.

Используем упрощенную формулу $Δf = 2Δx$:

$Δf = 2 \cdot (-0,1) = -0,2$.

Ответ: $Δf = -0,2$.

в) Даны значения $x_0 = 0$ и $Δx = 0,1$.

Используем упрощенную формулу $Δf = 2Δx$:

$Δf = 2 \cdot 0,1 = 0,2$.

Ответ: $Δf = 0,2$.

г) Даны значения $x_0 = 1$ и $Δx = 0,01$.

Используем упрощенную формулу $Δf = 2Δx$:

$Δf = 2 \cdot 0,01 = 0,02$.

Ответ: $Δf = 0,02$.