Номер 2.26, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.26, страница 64.

Условие.

2.26 Является ли непрерывной на интервале $(-\infty; +\infty)$ функция:

a) $f(x) = C$;

б) $f(x) = kx + b$;

в) $f(x) = ax^2 + bx + c$?

Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) f(x) = C

Функция $f(x) = C$, где $C$ — константа, является постоянной функцией. Она определена для любого действительного числа $x$. Чтобы доказать ее непрерывность на интервале $(-\infty; +\infty)$, нужно показать, что она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Возьмем произвольную точку $x_0 \in (-\infty; +\infty)$. Функция непрерывна в точке $x_0$, если выполняются три условия:
1. Функция определена в точке $x_0$. В нашем случае, $f(x_0) = C$.
2. Существует предел функции в точке $x_0$. Предел постоянной функции равен самой константе: $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} C = C$.
3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке. В нашем случае, $\lim_{x \to x_0} f(x) = C$ и $f(x_0) = C$, следовательно, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Поскольку точка $x_0$ была выбрана произвольно, эти условия выполняются для всех точек на интервале $(-\infty; +\infty)$. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси. Также можно отметить, что постоянная функция является многочленом нулевой степени, а все многочлены непрерывны на $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Да, является.

б) f(x) = kx + b

Функция $f(x) = kx + b$ является линейной функцией. Она определена для любого действительного числа $x$. Линейная функция является многочленом первой степени (или нулевой, если $k=0$).

Любой многочлен является непрерывной функцией на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$. Это фундаментальное свойство многочленов.

Для обоснования проверим условие непрерывности в произвольной точке $x_0 \in (-\infty; +\infty)$:
$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} (kx + b)$
Используя свойства пределов (предел суммы равен сумме пределов, а константу можно выносить за знак предела):
$\lim_{x \to x_0} (kx + b) = k \cdot (\lim_{x \to x_0} x) + b = kx_0 + b$
Значение функции в этой точке равно $f(x_0) = kx_0 + b$.
Так как $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, функция непрерывна в любой точке $x_0$.

Ответ: Да, является.

в) f(x) = ax² + bx + c

Функция $f(x) = ax^2 + bx + c$ является квадратичной функцией. Она представляет собой многочлен второй степени (при условии, что $a \neq 0$).

Область определения этой функции — вся числовая ось $(-\infty; +\infty)$. Как и любой многочлен, квадратичная функция непрерывна на всей своей области определения.

Обоснование аналогично предыдущим пунктам. Для любой точки $x_0 \in (-\infty; +\infty)$ предел функции равен значению функции в этой точке. Используя свойства пределов:
$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} (ax^2 + bx + c) = a(\lim_{x \to x_0} x^2) + b(\lim_{x \to x_0} x) + c = ax_0^2 + bx_0 + c$
Значение функции в точке $x_0$ равно $f(x_0) = ax_0^2 + bx_0 + c$.
Поскольку $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ для любой точки $x_0$, функция является непрерывной на интервале $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Да, является.