Номер 2.28, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.28, страница 64.

Условие.

2.28 Докажите, что в любой точке $x_0 \in (0; +\infty)$ непрерывна функция:

а) $y = \log_2 x;$

б) $y = x^{-\frac{3}{2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \log_2 x$

Чтобы доказать непрерывность функции $f(x) = \log_2 x$ в любой точке $x_0 \in (0; +\infty)$, воспользуемся определением непрерывности функции в точке. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если она определена в этой точке и предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, равен значению функции в этой точке:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

1. Область определения. Логарифмическая функция $y = \log_2 x$ определена для всех $x > 0$. Таким образом, для любой точки $x_0$ из интервала $(0; +\infty)$ значение функции $f(x_0) = \log_2 x_0$ существует.

2. Доказательство непрерывности. Докажем, что $\lim_{x \to x_0} \log_2 x = \log_2 x_0$. Для этого покажем, что приращение функции $\Delta y$ стремится к нулю, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю.

Пусть $x = x_0 + \Delta x$. Приращение функции равно:

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \log_2(x_0 + \Delta x) - \log_2 x_0$

Используя свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$, преобразуем выражение:

$\Delta y = \log_2\left(\frac{x_0 + \Delta x}{x_0}\right) = \log_2\left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)$

Найдем предел приращения функции при $\Delta x \to 0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} \log_2\left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)$

Поскольку $x_0$ — фиксированное положительное число ($x_0 > 0$), то при $\Delta x \to 0$ выражение $\frac{\Delta x}{x_0} \to 0$. Следовательно, аргумент логарифма $1 + \frac{\Delta x}{x_0} \to 1$.

Так как логарифмическая функция является непрерывной на всей своей области определения (это свойство элементарных функций), мы можем поменять местами знак предела и знак функции:

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \log_2\left(\lim_{\Delta x \to 0} \left(1 + \frac{\Delta x}{x_0}\right)\right) = \log_2(1) = 0$

Поскольку предел приращения функции равен нулю, это означает, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, и, следовательно, функция $y = \log_2 x$ непрерывна в любой точке $x_0 \in (0; +\infty)$.

Ответ: Непрерывность функции $y = \log_2 x$ в любой точке $x_0 \in (0; +\infty)$ доказана.

б) $y = x^{-\frac{3}{2}}$

Докажем непрерывность функции $f(x) = x^{-\frac{3}{2}}$ в любой точке $x_0 \in (0; +\infty)$, используя определение непрерывности: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

1. Область определения. Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{x^3}}$. Эта функция определена, когда выражение под корнем неотрицательно ($x^3 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 0$) и знаменатель не равен нулю ($x \neq 0$). Таким образом, область определения функции — интервал $(0; +\infty)$. Для любой точки $x_0$ из этого интервала значение функции $f(x_0) = x_0^{-\frac{3}{2}}$ существует.

2. Доказательство непрерывности. Докажем, что $\lim_{x \to x_0} x^{-\frac{3}{2}} = x_0^{-\frac{3}{2}}$.

Степенная функция $y = x^a$ является элементарной и непрерывна на всей своей области определения. Для $a = -3/2$ областью определения является $(0; +\infty)$, поэтому функция непрерывна в любой точке этого интервала.

Докажем это более строго, используя теоремы о пределах и непрерывности основных функций. Нашу функцию можно представить как композицию нескольких непрерывных функций:

$f(x) = \frac{1}{(\sqrt{x})^3}$

Здесь мы имеем последовательное применение следующих непрерывных на своих областях определения функций:

• $g(x) = \sqrt{x}$ (непрерывна при $x \ge 0$)
• $h(t) = t^3$ (непрерывна для всех $t$)
• $k(u) = \frac{1}{u}$ (непрерывна при $u \neq 0$)

Используя свойство непрерывности композиции функций (предел композиции равен композиции пределов), вычислим предел:

$\lim_{x \to x_0} x^{-\frac{3}{2}} = \lim_{x \to x_0} \frac{1}{(\sqrt{x})^3}$

Поскольку $x_0 \in (0; +\infty)$, функция $g(x) = \sqrt{x}$ непрерывна в точке $x_0$, и $\lim_{x \to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0}$.

Далее, функция $h(t) = t^3$ непрерывна везде, поэтому:

$\lim_{x \to x_0} (\sqrt{x})^3 = \left(\lim_{x \to x_0} \sqrt{x}\right)^3 = (\sqrt{x_0})^3 = x_0^{3/2}$

Наконец, так как $x_0 > 0$, то $x_0^{3/2} \neq 0$, и функция $k(u) = 1/u$ непрерывна в точке $u = x_0^{3/2}$. Поэтому:

$\lim_{x \to x_0} \frac{1}{x^{3/2}} = \frac{1}{\lim_{x \to x_0} x^{3/2}} = \frac{1}{x_0^{3/2}} = x_0^{-\frac{3}{2}}$

Мы получили, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, что и доказывает непрерывность функции $y = x^{-\frac{3}{2}}$ в любой точке $x_0 \in (0; +\infty)$.

Ответ: Непрерывность функции $y = x^{-\frac{3}{2}}$ в любой точке $x_0 \in (0; +\infty)$ доказана.