Номер 2.34, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.34, страница 67.

Условие.

2.34 Определите все промежутки, на которых непрерывна функция:

а) $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} \operatorname{tg} x$;

в) $y = \log_2 (x + 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Данная функция $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$ является композицией элементарных функций (показательной, квадратного корня, тригонометрической), а любая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Таким образом, задача сводится к нахождению области определения функции.
Область определения находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\sin x \ge 0$.
Решением этого тригонометрического неравенства являются промежутки, где синус положителен или равен нулю. Это происходит в I и II координатных четвертях.
С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), получаем:
$2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это и есть промежутки, на которых функция непрерывна.
Ответ: $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) Функция $y = \log_{\frac{1}{2}} (\operatorname{tg} x)$ является композицией элементарных функций (логарифмической и тригонометрической) и непрерывна на своей области определения.
Область определения этой функции задается системой условий:
1. Аргумент тангенса должен быть определен: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $\operatorname{tg} x > 0$.
Решаем второе неравенство. Тангенс положителен в I и III координатных четвертях.
С учетом периодичности функции тангенс ($\pi$), получаем:
$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти интервалы автоматически удовлетворяют первому условию (в конечных точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ тангенс не определен, поэтому неравенство строгое).
Следовательно, это и есть искомые промежутки непрерывности.
Ответ: $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) Функция $y = \log_2(x+1)$ является композицией элементарных функций (логарифмической и линейной) и непрерывна на своей области определения.
Область определения логарифмической функции задается условием, что ее аргумент должен быть строго положительным:
$x+1 > 0$.
Решая это линейное неравенство, находим:
$x > -1$.
Таким образом, область определения функции, а значит и промежуток ее непрерывности, есть интервал $(-1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-1, +\infty)$.