Номер 2.34, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.34, страница 67.
№2.34 (с. 67)
Условие. №2.34 (с. 67)
скриншот условия

2.34 Определите все промежутки, на которых непрерывна функция:
а) $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$;
б) $y = \log_{\frac{1}{2}} \operatorname{tg} x$;
в) $y = \log_2 (x + 1)$.
Решение 1. №2.34 (с. 67)



Решение 2. №2.34 (с. 67)

Решение 3. №2.34 (с. 67)


Решение 4. №2.34 (с. 67)
а) Данная функция $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$ является композицией элементарных функций (показательной, квадратного корня, тригонометрической), а любая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Таким образом, задача сводится к нахождению области определения функции.
Область определения находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\sin x \ge 0$.
Решением этого тригонометрического неравенства являются промежутки, где синус положителен или равен нулю. Это происходит в I и II координатных четвертях.
С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), получаем:
$2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это и есть промежутки, на которых функция непрерывна.
Ответ: $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
б) Функция $y = \log_{\frac{1}{2}} (\operatorname{tg} x)$ является композицией элементарных функций (логарифмической и тригонометрической) и непрерывна на своей области определения.
Область определения этой функции задается системой условий:
1. Аргумент тангенса должен быть определен: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $\operatorname{tg} x > 0$.
Решаем второе неравенство. Тангенс положителен в I и III координатных четвертях.
С учетом периодичности функции тангенс ($\pi$), получаем:
$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти интервалы автоматически удовлетворяют первому условию (в конечных точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ тангенс не определен, поэтому неравенство строгое).
Следовательно, это и есть искомые промежутки непрерывности.
Ответ: $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
в) Функция $y = \log_2(x+1)$ является композицией элементарных функций (логарифмической и линейной) и непрерывна на своей области определения.
Область определения логарифмической функции задается условием, что ее аргумент должен быть строго положительным:
$x+1 > 0$.
Решая это линейное неравенство, находим:
$x > -1$.
Таким образом, область определения функции, а значит и промежуток ее непрерывности, есть интервал $(-1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-1, +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2.34 расположенного на странице 67 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2.34 (с. 67), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.