Номер 2.38, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.38, страница 67.

Условие.

2.38* Докажите, что уравнение $x^3 + 5x^2 - 7x - 1 = 0$ имеет корень на отрезке $[1; 2]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства того, что уравнение $x^3 + 5x^2 - 7x - 1 = 0$ имеет корень на отрезке $[1; 2]$, воспользуемся теоремой Больцано–Коши о промежуточном значении для непрерывных функций.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 5x^2 - 7x - 1$. Эта функция является многочленом, а следовательно, она непрерывна на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[1; 2]$.

Теперь вычислим значения функции на концах этого отрезка.

При $x = 1$:
$f(1) = 1^3 + 5(1)^2 - 7(1) - 1 = 1 + 5 - 7 - 1 = -2$.

При $x = 2$:
$f(2) = 2^3 + 5(2)^2 - 7(2) - 1 = 8 + 5(4) - 14 - 1 = 8 + 20 - 14 - 1 = 13$.

Мы видим, что на концах отрезка $[1; 2]$ функция принимает значения разных знаков: $f(1) = -2 < 0$ и $f(2) = 13 > 0$.

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом интервале $[1; 2]$ и значения на его концах имеют противоположные знаки, то согласно теореме Больцано–Коши, существует по крайней мере одна точка $c$ внутри интервала $(1; 2)$, для которой $f(c) = 0$.

Это означает, что уравнение $x^3 + 5x^2 - 7x - 1 = 0$ имеет по меньшей мере один корень на интервале $(1; 2)$, а следовательно, и на отрезке $[1; 2]$.

Ответ: Что и требовалось доказать.