Номер 2.39, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.39, страница 71.

Условие.

2.39° Какая функция является:

а) непрерывной в точке $x_0$ интервала $J$;

б) непрерывной на интервале $J$;

в) разрывной в точке $x_0$ интервала $J$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) непрерывной в точке x₀ интервала J;

Функция $y = f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$ интервала $J$, если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку $x_0$) и предел функции при стремлении аргумента $x$ к $x_0$ равен значению функции в этой точке.

Формально это условие записывается так: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Для выполнения этого равенства необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия: 1) функция $f(x)$ определена в точке $x_0$ (то есть существует значение $f(x_0)$); 2) существует предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$ (это означает, что односторонние пределы существуют и равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$); 3) значение этого предела равно значению функции в точке $x_0$.

Геометрически это означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является сплошной линией, без разрывов, скачков или проколов.

Ответ: Функция, для которой в точке $x_0$ существует предел, равный значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

б) непрерывной на интервале J;

Функция $y = f(x)$ называется непрерывной на интервале $J$, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Это означает, что для любой точки $c$ из интервала $J$ (математически: $\forall c \in J$) выполняется равенство $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$. Если интервал включает свои концы (например, отрезок $[a, b]$), то на концах интервала непрерывность понимается как односторонняя: непрерывность справа в точке $a$ ($\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$) и непрерывность слева в точке $b$ ($\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$).

Геометрически это означает, что график функции на всем интервале $J$ является сплошной линией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Ответ: Функция, которая является непрерывной в каждой точке интервала $J$.

в) разрывной в точке x₀ интервала J?

Функция $y = f(x)$ называется разрывной в точке $x_0$ интервала $J$, если в этой точке нарушается условие непрерывности. То есть, не выполняется хотя бы одно из трех условий, необходимых для непрерывности.

Нарушение непрерывности (разрыв) в точке $x_0$ происходит в одном из следующих случаев:
1. Функция не определена в точке $x_0$ (например, $f(x) = \frac{1}{x-x_0}$).
2. Предел функции в точке $x_0$ не существует (например, когда левый и правый пределы не равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$). Такой разрыв называют разрывом первого рода или "скачком".
3. Предел функции в точке $x_0$ существует, но он не равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$. Такой разрыв называют устранимым разрывом.
Также выделяют разрывы второго рода, когда хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Ответ: Функция, у которой в точке $x_0$ нарушено условие непрерывности, то есть не выполняется равенство $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ (по причине того, что предел не существует, не равен значению функции, или сама функция не определена в этой точке).