Номер 2.32, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.32, страница 64.

Условие.

2.32 Укажите промежутки непрерывности функции:

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$;

б) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x}$;

в) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

г) $y = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$;

д) $y = \operatorname{tg} x$;

е) $y = \operatorname{ctg} x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$

Функция определена и непрерывна во всех точках, где знаменатель не равен нулю. Знаменатель $\sin x$ обращается в нуль в точках $x = \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках функция имеет разрывы первого рода (скачки), так как при переходе через эти точки значение функции меняется с 1 на -1 (или наоборот). В остальных точках функция непрерывна. Следовательно, промежутки непрерывности — это интервалы между точками разрыва.

Ответ: функция непрерывна на каждом из интервалов $(\pi k, \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x}$

Функция определена и непрерывна во всех точках, где знаменатель не равен нулю. Знаменатель $\cos x$ обращается в нуль в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках функция имеет разрывы первого рода (скачки). В остальных точках функция непрерывна. Следовательно, промежутки непрерывности — это интервалы между точками разрыва.

Ответ: функция непрерывна на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Данная функция является рациональной. Она определена и непрерывна на всей числовой оси, за исключением точек, где знаменатель обращается в нуль. Знаменатель $x+2=0$ при $x=-2$. Таким образом, $x=-2$ является точкой разрыва. Для всех $x \neq -2$ функцию можно упростить:

$y = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$

Поскольку существует конечный предел функции в точке $x=-2$ ($\lim_{x \to -2} (x-2) = -4$), то разрыв является устранимым. Функция непрерывна на всей области своего определения.

Ответ: функция непрерывна на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(-2, \infty)$.

г) $y = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Данная функция является рациональной. Она определена и непрерывна на всей числовой оси, за исключением точек, где знаменатель обращается в нуль. Знаменатель $x-3=0$ при $x=3$. Таким образом, $x=3$ является точкой разрыва. Для всех $x \neq 3$ функцию можно упростить:

$y = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$

Поскольку существует конечный предел функции в точке $x=3$ ($\lim_{x \to 3} (x+3) = 6$), то разрыв является устранимым. Функция непрерывна на всей области своего определения.

Ответ: функция непрерывна на промежутках $(-\infty, 3)$ и $(3, \infty)$.

д) $y = \operatorname{tg} x$

Функция тангенса определяется как $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Она является частным двух непрерывных функций $\sin x$ и $\cos x$. Следовательно, функция тангенса непрерывна везде, где она определена, то есть там, где знаменатель $\cos x$ не равен нулю. Знаменатель обращается в нуль в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках функция имеет разрывы второго рода (бесконечные разрывы), так как пределы слева и справа в этих точках равны $\pm\infty$.

Ответ: функция непрерывна на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

е) $y = \operatorname{ctg} x$

Функция котангенса определяется как $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Она является частным двух непрерывных функций $\cos x$ и $\sin x$. Следовательно, функция котангенса непрерывна везде, где она определена, то есть там, где знаменатель $\sin x$ не равен нулю. Знаменатель обращается в нуль в точках $x = \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках функция имеет разрывы второго рода (бесконечные разрывы).

Ответ: функция непрерывна на каждом из интервалов $(\pi k, \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.