Номер 2.25, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.25, страница 64.

Условие.

2.25 Найдите приращение $\Delta f$ функции $y = f(x)$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$, в точке $x_0$:

а) $f(x) = 2x$;

б) $f(x) = -2x + 1$;

в) $f(x) = x^2$.

К чему стремится $\Delta f$ при $\Delta x \rightarrow 0$? Зависит ли ответ на этот вопрос от выбора точки $x_0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$, вычисляется по формуле: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

а) Для функции $f(x) = 2x$:

Находим значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0) = 2x_0$

$f(x_0 + \Delta x) = 2(x_0 + \Delta x) = 2x_0 + 2\Delta x$

Вычисляем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (2x_0 + 2\Delta x) - 2x_0 = 2\Delta x$

Ответ: $\Delta f = 2\Delta x$.

б) Для функции $f(x) = -2x + 1$:

Находим значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0) = -2x_0 + 1$

$f(x_0 + \Delta x) = -2(x_0 + \Delta x) + 1 = -2x_0 - 2\Delta x + 1$

Вычисляем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (-2x_0 - 2\Delta x + 1) - (-2x_0 + 1) = -2x_0 - 2\Delta x + 1 + 2x_0 - 1 = -2\Delta x$

Ответ: $\Delta f = -2\Delta x$.

в) Для функции $f(x) = x^2$:

Находим значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0) = x_0^2$

$f(x_0 + \Delta x) = (x_0 + \Delta x)^2 = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2$

Вычисляем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) - x_0^2 = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2$

Ответ: $\Delta f = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2$.

Теперь ответим на вопросы: "К чему стремится $\Delta f$ при $\Delta x \rightarrow 0$? Зависит ли ответ на этот вопрос от выбора точки $x_0$?"

Для всех рассмотренных функций (которые являются непрерывными) приращение функции $\Delta f$ стремится к нулю, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю. Проверим это, вычислив пределы для каждого случая:

Для случая а): $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta f = \lim_{\Delta x \to 0} (2\Delta x) = 0$.

Для случая б): $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta f = \lim_{\Delta x \to 0} (-2\Delta x) = 0$.

Для случая в): $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta f = \lim_{\Delta x \to 0} (2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 2x_0 \cdot 0 + 0^2 = 0$.

Как видно, во всех случаях предел равен 0. Таким образом, ответ на вопрос "К чему стремится $\Delta f$?" — к нулю. Этот ответ (число 0) не содержит $x_0$ и, следовательно, не зависит от выбора точки $x_0$.

Ответ: При $\Delta x \rightarrow 0$, приращение функции $\Delta f$ стремится к 0. Этот результат не зависит от выбора точки $x_0$.