Номер 2.20, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.20, страница 63.

Условие.

2.20° Какую функцию называют непрерывной на промежутке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Функцию $y=f(x)$ называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Это общее определение, которое уточняется в зависимости от типа промежутка (является ли он открытым, закрытым или полуоткрытым), так как понятие непрерывности на концах промежутка отличается.

Для интервала (открытого промежутка)
Функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(a, b)$, если она непрерывна в каждой точке $x_0$ этого интервала. То есть для любой точки $x_0 \in (a, b)$ должно выполняться равенство: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Для отрезка (закрытого промежутка)
Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, если выполняются три условия:

1. она непрерывна на интервале $(a, b)$;
2. она непрерывна в точке $a$ справа, то есть существует односторонний предел справа, равный значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$;
3. она непрерывна в точке $b$ слева, то есть существует односторонний предел слева, равный значению функции в этой точке: $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.

С наглядной, интуитивной точки зрения, график функции, непрерывной на промежутке, является сплошной линией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги на всем этом промежутке.

Ответ: Функцию называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его внутренней точке, а также непрерывна справа на левом конце и непрерывна слева на правом конце этого промежутка (в том случае, если эти концы принадлежат самому промежутку).