Номер 2.13, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.13, страница 56.

Условие.

2.13* Докажите, используя определение предела «на языке ϵ – δ» или «на языке последовательностей», что:

a) $\lim_{x \to 4} (3x - 7) = 5;$

б) $\lim_{x \to 2} (5x - 9) = 1;$

в) $\lim_{x \to -2} (-x + 2) = 4;$

г) $\lim_{x \to 3} (-2x + 7) = 1;$

д) $\lim_{x \to -4} (3x + 10) = -2;$

е) $\lim_{x \to -5} (2x - 1) = -11.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Докажем, что $\lim_{x \to 4} (3x - 7) = 5$, используя определение предела на языке $\epsilon-\delta$. Согласно определению, для любого $\epsilon > 0$ необходимо найти такое $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 4| < \delta$, выполняется неравенство $|(3x - 7) - 5| < \epsilon$. Преобразуем выражение под знаком модуля: $|(3x - 7) - 5| = |3x - 12| = |3(x - 4)| = 3|x - 4|$. Мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $3|x - 4| < \epsilon$, что эквивалентно $|x - 4| < \frac{\epsilon}{3}$. Таким образом, если мы выберем $\delta = \frac{\epsilon}{3}$, то для любого $x$, удовлетворяющего условию $0 < |x - 4| < \delta$, будет следовать, что $|x - 4| < \frac{\epsilon}{3}$, и, следовательно, $|(3x - 7) - 5| < \epsilon$. Поскольку для любого $\epsilon > 0$ мы нашли соответствующее $\delta > 0$, утверждение доказано. Ответ:

б) Докажем, что $\lim_{x \to 2} (5x - 9) = 1$. По определению предела, для любого $\epsilon > 0$ нужно найти $\delta > 0$ такое, что из $0 < |x - 2| < \delta$ следует $|(5x - 9) - 1| < \epsilon$. Рассмотрим неравенство с модулем: $|(5x - 9) - 1| = |5x - 10| = |5(x - 2)| = 5|x - 2|$. Нам требуется, чтобы $5|x - 2| < \epsilon$, или $|x - 2| < \frac{\epsilon}{5}$. Выбрав $\delta = \frac{\epsilon}{5}$ (так как $\epsilon > 0$, то и $\delta > 0$), мы видим, что для любого $x$, удовлетворяющего $0 < |x - 2| < \delta$, выполняется $|x - 2| < \frac{\epsilon}{5}$, что гарантирует выполнение неравенства $|(5x - 9) - 1| < \epsilon$. Утверждение доказано. Ответ:

в) Докажем, что $\lim_{x \to -2} (-x + 2) = 4$. По определению, для любого $\epsilon > 0$ ищем $\delta > 0$ такое, что из $0 < |x - (-2)| < \delta$ (т.е. $0 < |x + 2| < \delta$) следует $|(-x + 2) - 4| < \epsilon$. Преобразуем выражение: $|(-x + 2) - 4| = |-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|$. Требуется, чтобы $|x + 2| < \epsilon$. Выбрав $\delta = \epsilon$, мы видим, что для любого $x$, удовлетворяющего $0 < |x + 2| < \delta$, выполняется $|x + 2| < \epsilon$, что и требовалось доказать. Предел доказан. Ответ:

г) Докажем, что $\lim_{x \to 3} (-2x + 7) = 1$. Для любого $\epsilon > 0$ необходимо найти такое $\delta > 0$, что из $0 < |x - 3| < \delta$ следует $|(-2x + 7) - 1| < \epsilon$. Рассмотрим модуль разности: $|(-2x + 7) - 1| = |-2x + 6| = |-2(x - 3)| = 2|x - 3|$. Требуется, чтобы $2|x - 3| < \epsilon$, что равносильно $|x - 3| < \frac{\epsilon}{2}$. Следовательно, можно выбрать $\delta = \frac{\epsilon}{2}$. Для любого $x$, удовлетворяющего условию $0 < |x - 3| < \delta$, будет следовать $|x - 3| < \frac{\epsilon}{2}$, и значит $|(-2x + 7) - 1| < \epsilon$. Предел доказан. Ответ:

д) Докажем, что $\lim_{x \to -4} (3x + 10) = -2$. Для всякого $\epsilon > 0$ нужно найти $\delta > 0$ такое, что из $0 < |x - (-4)| < \delta$ (т.е. $0 < |x + 4| < \delta$) следует $|(3x + 10) - (-2)| < \epsilon$. Преобразуем выражение в модуле: $|(3x + 10) - (-2)| = |3x + 12| = |3(x + 4)| = 3|x + 4|$. Мы хотим, чтобы $3|x + 4| < \epsilon$, или $|x + 4| < \frac{\epsilon}{3}$. Выбрав $\delta = \frac{\epsilon}{3}$, мы получаем, что для всех $x$, для которых $0 < |x + 4| < \delta$, выполняется неравенство $|(3x + 10) - (-2)| < \epsilon$. Утверждение доказано. Ответ:

е) Докажем, что $\lim_{x \to -5} (2x - 1) = -11$. Согласно определению предела, для любого $\epsilon > 0$ мы должны найти $\delta > 0$ такое, что если $0 < |x - (-5)| < \delta$ (т.е. $0 < |x + 5| < \delta$), то $|(2x - 1) - (-11)| < \epsilon$. Преобразуем модуль разности: $|(2x - 1) - (-11)| = |2x + 10| = |2(x + 5)| = 2|x + 5|$. Нам нужно, чтобы $2|x + 5| < \epsilon$, что эквивалентно $|x + 5| < \frac{\epsilon}{2}$. Выберем $\delta = \frac{\epsilon}{2}$. Тогда для любого $x$, удовлетворяющего $0 < |x + 5| < \delta$, будет выполняться $|x + 5| < \frac{\epsilon}{2}$, а значит и $|(2x - 1) - (-11)| < \epsilon$. Предел доказан. Ответ: